Республиканская олимпиада по математике, 2014 год, 10 класс
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Обозначим через $M$ середину $AC$. Пусть прямая $BM$ пересекает $\omega$ во второй раз в точке $N$, а касательная к $\omega$ в точке $N$ пересекает $AC$ в точке $S$. Легко догадаться, что все искомые прямые проходят через точку $S$, так как если $D$ совпадает с точкой $M$, то $D=D_1=M$, откуда $E=E_1=N$, поэтому прямая $EE_1$ совпадет с прямой $SN$. Если же $D=A$, то $D_1=C$ и прямая $EE_1$ совпадёт с прямой $AC$.
Пусть $M$ середина $AC$, $N$ на $(ABC)$ такова, что $BN||AC$, $K=BM\cap(ABC)$. Заметим, что $D,D_1,M$ и бесконечно удалённая точка прямой $AC$ образуют гармоническую четвёрку. Спроектируем её на $(ABC)$ из точки $B$, тогда получим, что $NEKE_1$ - гармонический четырёхугольник. По свойству гармонического четырёхугольника диагональ $EE_1$ проходит через точку пересечения касательных к точкам $N,K$. А она является фиксированной
Пусть $EE_1$ пересекает $BC$ в точке $F$ докажем что это точка фиксированая <=> (!)$\frac{AF}{CF}=Fix$
$\frac{AF}{CF}=\frac{AE}{CE}*\frac{sin AEF}{sin CEF}$
$\frac{AE}{CE}=\frac{sin ABD}{sin CBD}=\frac{AD}{CD}*\frac{BC}{AB}$
$\frac{sin AEF}{sin CEF}=\frac{AD’}{CD’}*\frac{BC}{AB}$
$\frac{AF}{CF}=\frac{AE}{CE}*\frac{sin AEF}{sin CEF}=\frac{AD}{CD}*\frac{BC}{AB}* \frac{AD’}{CD’}*\frac{BC}{AB}=(\frac{BC}{AB})^2$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.