Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2014 год, 10 класс


Дан треугольник ABC, около которого описана окружность ω. Точки D и D1, лежащие на прямой AC, симметричны друг другу относительно середины AC. Пусть BD и BD1 во второй раз пересекают ω в точках E и E1, соответственно. Докажите, что все такие прямые EE1 проходят через фиксированную точку плоскости.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Обозначим через M середину AC. Пусть прямая BM пересекает ω во второй раз в точке N, а касательная к ω в точке N пересекает AC в точке S. Легко догадаться, что все искомые прямые проходят через точку S, так как если D совпадает с точкой M, то D=D1=M, откуда E=E1=N, поэтому прямая EE1 совпадет с прямой SN. Если же D=A, то D1=C и прямая EE1 совпадёт с прямой AC.

Осталось доказать, что если прямая проходящая через S пересекает ω в точках X и Y, а прямые BX и BY пересекают AC в точках X1 и Y1, соответственно, то MX1=MY1. Пусть O — центр ω, а SK — вторая касательная к ω. Точки S, K, O, M, N лежат на окружности с диаметром SO. Так как SK=SN, то CMB=SMN=SMK, то есть прямая MK симметрична прямой MB относительно прямой MO. Значит, KBAC. Имеем: SKX=KBX=XX1A, откуда точки S,K,X,X1 лежат на одной окружности. Следовательно, 180KX1M=KX1S=KXS=KBY=180BY1M, откуда KX1M=BY1M, то есть X1KBY1 — равнобедренная трапеция или MX1=MY1.

  2
1 года 11 месяца назад #

Пусть M середина AC, N на (ABC) такова, что BN||AC, K=BM(ABC). Заметим, что D,D1,M и бесконечно удалённая точка прямой AC образуют гармоническую четвёрку. Спроектируем её на (ABC) из точки B, тогда получим, что NEKE1 - гармонический четырёхугольник. По свойству гармонического четырёхугольника диагональ EE1 проходит через точку пересечения касательных к точкам N,K. А она является фиксированной

  1
2 месяца 27 дней назад #

Пусть EE1 пересекает BC в точке F докажем что это точка фиксированая <=> (!)AFCF=Fix

AFCF=AECEsinAEFsinCEF

AECE=sinABDsinCBD=ADCDBCAB

sinAEFsinCEF=ADCDBCAB

AFCF=AECEsinAEFsinCEF=ADCDBCABADCDBCAB=(BCAB)2