Республиканская олимпиада по математике, 2014 год, 10 класс


Дан треугольник $ABC$, около которого описана окружность $\omega$. Точки $D$ и $D_1$, лежащие на прямой $AC$, симметричны друг другу относительно середины $AC$. Пусть $BD$ и $BD_1$ во второй раз пересекают $\omega$ в точках $E$ и $E_1$, соответственно. Докажите, что все такие прямые $EE_1$ проходят через фиксированную точку плоскости.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Обозначим через $M$ середину $AC$. Пусть прямая $BM$ пересекает $\omega$ во второй раз в точке $N$, а касательная к $\omega$ в точке $N$ пересекает $AC$ в точке $S$. Легко догадаться, что все искомые прямые проходят через точку $S$, так как если $D$ совпадает с точкой $M$, то $D=D_1=M$, откуда $E=E_1=N$, поэтому прямая $EE_1$ совпадет с прямой $SN$. Если же $D=A$, то $D_1=C$ и прямая $EE_1$ совпадёт с прямой $AC$.

Осталось доказать, что если прямая проходящая через $S$ пересекает $\omega$ в точках $X$ и $Y$, а прямые $BX$ и $BY$ пересекают $AC$ в точках $X_1$ и $Y_1$, соответственно, то $MX_1 = MY_1$. Пусть $O$ — центр $\omega$, а $SK$ — вторая касательная к $\omega$. Точки $S$, $K$, $O$, $M$, $N$ лежат на окружности с диаметром $SO$. Так как $SK=SN$, то $\angle CMB = \angle SMN = \angle SMK$, то есть прямая $MK$ симметрична прямой $MB$ относительно прямой $MO$. Значит, $KB \parallel AC$. Имеем: $ \angle SKX = \angle KBX = \angle XX_1A$, откуда точки $S, K, X, X_1$ лежат на одной окружности. Следовательно, $180^\circ -\angle KX_1M = \angle KX_1S = \angle KXS = \angle KBY = 180^\circ -\angle BY_1M$, откуда $\angle KX_1M = \angle BY_1M$, то есть $X_1KBY_1$ — равнобедренная трапеция или $MX_1 = MY_1$.

  2
2023-03-14 08:49:03.0 #

Пусть $M$ середина $AC$, $N$ на $(ABC)$ такова, что $BN||AC$, $K=BM\cap(ABC)$. Заметим, что $D,D_1,M$ и бесконечно удалённая точка прямой $AC$ образуют гармоническую четвёрку. Спроектируем её на $(ABC)$ из точки $B$, тогда получим, что $NEKE_1$ - гармонический четырёхугольник. По свойству гармонического четырёхугольника диагональ $EE_1$ проходит через точку пересечения касательных к точкам $N,K$. А она является фиксированной

sakhipovamir
  1
2024-11-29 01:39:51.0 #

Пусть $EE_1$ пересекает $BC$ в точке $F$ докажем что это точка фиксированая <=> (!)$\frac{AF}{CF}=Fix$

$\frac{AF}{CF}=\frac{AE}{CE}*\frac{sin AEF}{sin CEF}$

$\frac{AE}{CE}=\frac{sin ABD}{sin CBD}=\frac{AD}{CD}*\frac{BC}{AB}$

$\frac{sin AEF}{sin CEF}=\frac{AD’}{CD’}*\frac{BC}{AB}$

$\frac{AF}{CF}=\frac{AE}{CE}*\frac{sin AEF}{sin CEF}=\frac{AD}{CD}*\frac{BC}{AB}* \frac{AD’}{CD’}*\frac{BC}{AB}=(\frac{BC}{AB})^2$

IMO