Processing math: 77%

Республиканская олимпиада по математике, 2014 год, 10 класс


Существуют ли натуральные числа a и b такие, что для каждого натурального n числа an+nb и bn+na взаимно просты? ( Сатылханов К. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Предположим, что существуют такие числа a и b. Если (a,b)=d>1, то достаточно взять n=d, и тогда числа an+nb и bn+na не будут взаимно простыми. Поэтому (a,b)=1. Пусть p — простой делитель числа aa+bb. Не теряя общность положим, что ab. Тогда существует целое число k такое, что 1kp1 и k \equiv \frac{b}{a} \pmod p. Возьмем натуральное число n=k+p\cdot (a-b-k+p-1). Тогда {a^n} + {n^b} \equiv {a^k} \cdot {a^{p \cdot (a - b - k + p - 1)}} + {k^b} \equiv {a^k} \cdot {a^{a - b - k + p - 1}} + {k^b} \equiv {a^{a - b}} \cdot {a^{p - 1}} + {k^b} \equiv {a^{a - b}} + {\left( {\frac{b}{a}} \right)^b} \equiv \frac{{{a^a} + {b^b}}}{{{a^b}}} \equiv 0 \pmod p. Аналогично имеем {b^n} + {n^a} \equiv {b^{a - b}} + {\left( {\frac{b}{a}} \right)^a} \equiv \frac{b^{a-b}({{a^a} + {b^b}})}{{{a^a}}} \equiv 0 \pmod p . Получается, что 1 = \left( {{a^n} + {n^b},{b^n} + {n^a}} \right) \vdots p, что невозможно.

пред. Правка 2   0
1 месяца 2 дней назад #