Республиканская олимпиада по математике, 2014 год, 10 класс
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Решение основано на применении дважды следующей леммы: ЛЕММА. Для любого неотрицательного целого числа k существует такое неотрицательное целое число x, что 0≤k−x3≤3k2/3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для k=0 все очевидно. Пусть теперь k≥1, тогда l3≤k≤l3+3l2+3l, где l=[3√k]≥1. Если k≤(l+12)3=l3+32l2+34l+18, то 0≤k−l3≤3l2≤3k2/3. Если же k≥(l+12)3, то 0≤k−l3≤3l2+3l≤3(l+12)2≤3k2/3. Лемма доказана. Согласно лемме, для любого неотрицательного целого числа m существуют такие неотрицательные целые числа x, y, что 0≤m−x3−y3≤3(3m2/3)2/3. Заметим также, что 3(3m2/3)2/3≤6√m при m≥3. Для m∈{0, 1, 2} можно подобрать такие x, y, что m−x3−y3=0. Итак, для любого неотрицательного целого числа m существуют такие неотрицательные целые числа x, y, что 0≤m−x3−y3≤6√m. Иными словами, при любом неотрицательном целом m на отрезке [m−6√m, m] имеется число вида x3+y3, где x и y — неотрицательные целые числа. Тогда при n≥43 утверждение задачи следует из неравенства n−4√n≤n+[4√n]−6√n+[4√n], для n≥43. Действительно, 4√n+[4√n]≥8√n−1≥6(√n+2)≥6√n+[4√n]. Осталось доказать утверждение задачи для n≤42. В случае n≤16 отрезок [n−4√n, n+4√n] содержит число 0=03+03, поэтому рассмотрим сразу случай 17≤n≤42. Тогда отрезок [n−4√n, n+4√n] содержит по крайней мере 8√n≥32 последовательных натуральных числа, при этом n+4√n≤68. Выпишем все числа от 1 до 68, представимые в виде суммы двух кубов неотрицательных целых чисел: 1, 2, 8, 9, 16, 27, 28, 35, 54, 64, 65. Отсюда видно, что в диапазоне [1, 68] любой отрезок из 32 последовательных натуральных чисел содержит по крайней мере одно из указанных чисел.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.