Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2014 год, 10 класс


Докажите, что для любого натурального n на отрезке [n4n, n+4n] найдется число, представимое в виде x3+y3, где x и y — неотрицательные целые числа. ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение основано на применении дважды следующей леммы: ЛЕММА. Для любого неотрицательного целого числа k существует такое неотрицательное целое число x, что 0kx33k2/3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для k=0 все очевидно. Пусть теперь k1, тогда l3kl3+3l2+3l, где l=[3k]1. Если k(l+12)3=l3+32l2+34l+18, то 0kl33l23k2/3. Если же k(l+12)3, то 0kl33l2+3l3(l+12)23k2/3. Лемма доказана. Согласно лемме, для любого неотрицательного целого числа m существуют такие неотрицательные целые числа x, y, что 0mx3y33(3m2/3)2/3. Заметим также, что 3(3m2/3)2/36m при m3. Для m{0, 1, 2} можно подобрать такие x, y, что mx3y3=0. Итак, для любого неотрицательного целого числа m существуют такие неотрицательные целые числа x, y, что 0mx3y36m. Иными словами, при любом неотрицательном целом m на отрезке [m6m, m] имеется число вида x3+y3, где x и y — неотрицательные целые числа. Тогда при n43 утверждение задачи следует из неравенства n4nn+[4n]6n+[4n], для n43. Действительно, 4n+[4n]8n16(n+2)6n+[4n]. Осталось доказать утверждение задачи для n42. В случае n16 отрезок [n4n, n+4n] содержит число 0=03+03, поэтому рассмотрим сразу случай 17n42. Тогда отрезок [n4n, n+4n] содержит по крайней мере 8n32 последовательных натуральных числа, при этом n+4n68. Выпишем все числа от 1 до 68, представимые в виде суммы двух кубов неотрицательных целых чисел: 1, 2, 8, 9, 16, 27, 28, 35, 54, 64, 65. Отсюда видно, что в диапазоне [1, 68] любой отрезок из 32 последовательных натуральных чисел содержит по крайней мере одно из указанных чисел.

  0
8 года 2 месяца назад #

похожа на задачу всероса , забыл какого года

  0
8 года 2 месяца назад #

Наверное эта задача: h_http://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=109761@http://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=109761_h

  0
8 года 2 месяца назад #

Да, та самая.

То есть m между n и n+34n