Республиканская олимпиада по математике, 2014 год, 10 класс
Действительные числа a, b, c, d удовлетворяют следующим условиям:
i) a≠b, b≠c, c≠d, d≠a;
ii) 1(a−b)2+1(b−c)2+1(c−d)2+1(d−a)2=1.
Найдите минимум выражения a2+b2+c2+d2. ( Сатылханов К. )
посмотреть в олимпиаде
i) a≠b, b≠c, c≠d, d≠a;
ii) 1(a−b)2+1(b−c)2+1(c−d)2+1(d−a)2=1.
Найдите минимум выражения a2+b2+c2+d2. ( Сатылханов К. )
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Заметим, что неравенство (a+b)2+(b+c)2+(c+d)2+(d+a)2≥0 эквивалентно неравенству 4(a2+b2+c2+d2)≥(a−b)2+(b−c)2+(c−d)2+(d−a)2. Из соотношения между средними следует, что (a−b)2+(b−c)2+(c−d)2+(d−a)2≥≥161(a−b)2+1(b−c)2+1(c−d)2+1(d−a)2=16, откуда a2+b2+c2+d2≥4. Равенство достигается например при a=c=1 и b=d=−1.
По неравенству 2(a2+b2)≥(a+b)2 и неравенству Коши Шварца имеем:
1=1(a+(−b))2+1(b+(−c))2+1(c+(−d))2+1(d+(−a))2≥
12(a2+(−b)2)+12(b2+(−c)2)+12(c2+(−d)2)+12(d2+(−a)2)=
=12(a2+b2)+12(b2+c2)+12(c2+d2)+12(d2+a2)≥(1+1+1+1)24(a2+b2+c2+d2)
Откуда следует, что a2+b2+c2+d2≥4
Комментарии:
Можно доказать более строгое неравенство: |a|+|b|+|c|+|d|≥4
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.