Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2014 год, 10 класс


Действительные числа a, b, c, d удовлетворяют следующим условиям:
i) ab, bc, cd, da;
ii) 1(ab)2+1(bc)2+1(cd)2+1(da)2=1.
Найдите минимум выражения a2+b2+c2+d2. ( Сатылханов К. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Заметим, что неравенство (a+b)2+(b+c)2+(c+d)2+(d+a)20 эквивалентно неравенству 4(a2+b2+c2+d2)(ab)2+(bc)2+(cd)2+(da)2. Из соотношения между средними следует, что (ab)2+(bc)2+(cd)2+(da)2161(ab)2+1(bc)2+1(cd)2+1(da)2=16, откуда a2+b2+c2+d24. Равенство достигается например при a=c=1 и b=d=1.

пред. Правка 3   4 | проверено модератором
8 года 7 месяца назад #

По неравенству 2(a2+b2)(a+b)2 и неравенству Коши Шварца имеем:

1=1(a+(b))2+1(b+(c))2+1(c+(d))2+1(d+(a))2

12(a2+(b)2)+12(b2+(c)2)+12(c2+(d)2)+12(d2+(a)2)=

=12(a2+b2)+12(b2+c2)+12(c2+d2)+12(d2+a2)(1+1+1+1)24(a2+b2+c2+d2)

Откуда следует, что a2+b2+c2+d24

Комментарии:

Можно доказать более строгое неравенство: |a|+|b|+|c|+|d|4

пред. Правка 3   1
4 года 4 месяца назад #

  0
3 месяца 21 дней назад #