Математикадан республикалық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 10 сынып

Есеп №1. Нақты

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ сандары келесі шарттарды қанағаттандырады:
i)

$a \ne b$ ,

$b\ne c$ ,

$c\ne d$ ,

$d\ne a$ ;
ii)

$\dfrac{1}{{{\left( a-b \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( b-c \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( c-d \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( d-a \right)}^{2}}}=1$ .

${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}$ өрнегінің ең кіші мәнін табыңдар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(4)

Есеп №2. Теңбүйірлі емес

$ABC$ үшбұрышы

$\omega$ шеңберіне іштей сызылған.

$AC$ түзуінде жатқан

$D$ және

$D_1$ нүктелері

$AC$ -ның ортасына қарағанда бір-біріне симметриялы нүктелер.

$BD$ және

$BD_1$ түзулері

$\omega$ -ны екінші рет

$E$ және

$E_1$ нүктелерінде қисын. Осылай анықталған барлық

$EE_1$ түзулер жазықтықтың тұрақты нүктесі арқылы өтетінін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(3)

Есеп №3. Барлық натурал

$n$ үшін,

${{a}^{n}}+{{n}^{b}}$ және

${{b}^{n}}+{{n}^{a}}$ сандары өзара жай болатындай, натурал

$a$ және

$b$ сандары табылады ма? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Өлшемі

$2^n \times 2^n$ (

$n \ge 3$ ) болатын тақтадан бір шаршыны қиып алып тастаған. Қалған тақтаны үш шаршыдан құралған бұрыш фигуралармен толығымен жауып шығудың әдіс саны

$3^{{4^{n-3}}}$ -тен кем емес екенін дәлелде. (Ешқандай бұрыштар бір-бірін жаппайды). ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение

Есеп №5. Теңбүйірлі емес

$ABC$ үшбұрышында

$M$ —

$AC$ қабырғасының ортасы, ал

$\omega$ — оған сырттай сызылған шеңбер.

$\omega$ -ға

$B$ нүктесінде жүргізілген жанама

$AC$ түзуін

$N$ , ал

$BM$ түзуі

$\omega$ -ны екінші рет

$L$ нүктесінде қияды.

$P$ нүктесі

$L$ нүктесіне

$M$ -ге қарағанда симметриялы нүкте болсын.

$BPN$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер екінші рет

$AN$ түзуін

$Q$ нүктесінде қияды.

$\angle ABP = \angle QBC$ екенін дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(13)

Есеп №6. Кез келген натурал

$n$ саны үшін,

$\left[ n-4\sqrt{n}, n+4\sqrt{n} \right]$ кесіндісінде

${{x}^{3}}+{{y}^{3}}$ түрінде келетін сан табылатынын дәлелде, бұл жерде

$x$ пен

$y$ — теріс емес бүтін сандар. ( А. Васильев )
комментарий/решение(4)

результаты