Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2010 год, 9 класс


Окружность ω проходит через вершину B, касается стороны AC в точке D и пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках P и Q, соответственно. Прямая PQ пересекает BD в точке M, а AC — в точке N. Докажите, что ω, окружность, описанная около треугольника DMN, и окружность, касающаяся PQ в точке M и проходящая через B, пересекаются в одной точке. ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   2
9 года 1 месяца назад #

Пусть окружности OPQ,OAC пересекаются в точке Z проведем хорды ZM,ZD на этих окружностях соответственно , получим что ZDN=ZBM,ZMN=ZBM или ZDN=ZMN как углы между хордой и касательной , и заметим что она опирается на дугу ZN.Значит точки N,D,M,Z лежат на одной окружности , или ΔDMN вписанный, значит все три описанные окружности пересекаются в точке Z.

пред. Правка 2   -1
7 года назад #