Республиканская олимпиада по математике, 2010 год, 9 класс
Окружность ω проходит через вершину B, касается стороны AC в точке D и пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках P и Q, соответственно. Прямая PQ пересекает BD в точке M, а AC — в точке N. Докажите, что ω, окружность, описанная около треугольника DMN, и окружность, касающаяся PQ в точке M и проходящая через B, пересекаются в одной точке.
(
А. Васильев
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть окружности OPQ,OAC пересекаются в точке Z проведем хорды ZM,ZD на этих окружностях соответственно , получим что ∠ZDN=∠ZBM,∠ZMN=∠ZBM или ∠ZDN=∠ZMN как углы между хордой и касательной , и заметим что она опирается на дугу ZN.Значит точки N,D,M,Z лежат на одной окружности , или ΔDMN вписанный, значит все три описанные окружности пересекаются в точке Z.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.