Республиканская олимпиада по математике, 2010 год, 9 класс
Задача №1. Окружность ω проходит через вершину B, касается стороны AC в точке D и пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках P и Q, соответственно. Прямая PQ пересекает BD в точке M, а AC — в точке N. Докажите, что ω, окружность, описанная около треугольника DMN, и окружность, касающаяся PQ в точке M и проходящая через B, пересекаются в одной точке.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Ровно 4n чисел из множества целых чисел A={1,2,…,6n} покрашены в красный цвет, а остальные — в синий. Докажите, что найдется 3n последовательных целых чисел из множества A, из которых ровно 2n окрашены в красный цвет (а остальные n чисел окрашены в синий).
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Дано положительное действительное число A. Найдите наибольшее возможное значение действительного числа M, для которого выполнено неравенство 1x+1y+Ax+y≥M√xy для любых положительных действительных чисел x,y.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №4. Пусть x — наименьшее из решений уравнения x2−4x+2=0. Чему равны первые две цифры после запятой в десятичной записи числа x+x2+…+x20?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. В треугольнике ABC (AB<BC) точка I — центр вписанной
окружности, M — середина стороны AC, N — середина дуги ABC
описанной окружности. Докажите, что ∠IMA=∠INB.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №6. Числа 1, 2, …, 2010 расположены в ряд в произвольном порядке. Рассмотрим ряд, полученный следующим образом: к каждому числу прибавляется номер его места в ряду. Докажите,
что если в полученном ряду нет одинаковых чисел, то в нем найдутся два числа, разность которых равна 2010.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)