Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2010 год, 9 класс


Задача №1.  Окружность ω проходит через вершину B, касается стороны AC в точке D и пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках P и Q, соответственно. Прямая PQ пересекает BD в точке M, а AC — в точке N. Докажите, что ω, окружность, описанная около треугольника DMN, и окружность, касающаяся PQ в точке M и проходящая через B, пересекаются в одной точке. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2)
Задача №2. Ровно 4n чисел из множества целых чисел A={1,2,,6n} покрашены в красный цвет, а остальные — в синий. Докажите, что найдется 3n последовательных целых чисел из множества A, из которых ровно 2n окрашены в красный цвет (а остальные n чисел окрашены в синий).
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Дано положительное действительное число A. Найдите наибольшее возможное значение действительного числа M, для которого выполнено неравенство 1x+1y+Ax+yMxy для любых положительных действительных чисел x,y. ( А. Васильев )
комментарий/решение(4)
Задача №4. Пусть x — наименьшее из решений уравнения x24x+2=0. Чему равны первые две цифры после запятой в десятичной записи числа x+x2++x20?
комментарий/решение(1)
Задача №5.  В треугольнике ABC (AB<BC) точка I — центр вписанной окружности, M — середина стороны AC, N — середина дуги ABC описанной окружности. Докажите, что IMA=INB.
комментарий/решение(5)
Задача №6.  Числа 1, 2, , 2010 расположены в ряд в произвольном порядке. Рассмотрим ряд, полученный следующим образом: к каждому числу прибавляется номер его места в ряду. Докажите, что если в полученном ряду нет одинаковых чисел, то в нем найдутся два числа, разность которых равна 2010.
комментарий/решение(2)
результаты