Математикадан республикалық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 9 сынып

Есеп №1.

$ABC$ үшбұрышының

$B$ нүктесінен өтетін

$\omega$ шеңбері

$AC$ қабырғасын

$D$ нүктесінде жанап,

$AB$ және

$BC$ қабырғаларын

$P$ және

$Q$ нүктелерінде сәйкесінше қиып өтеді.

$PQ$ түзуі

$BD$ түзуін

$M$ нүктесінде, ал

$AC$ түзуін

$N$ нүктесінде қияды.

$DMN$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңбері және

$B$ нүктесінен өтетін әрі

$PQ$ түзуін

$M$ нүктесінде жанайтын шеңбер және

$\omega$ шеңберлері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңдер. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$A = \{ 1, 2, \ldots, 6n\}$ жиынының дәл

$4n$ саны қызыл түске боялған, ал қалғаны көк түске боялған.

$A$ жиынынан, ішінде дәл

$2n$ саны қызыл түске боялған (ал қалған

$n$ саны көк түске боялған) тізбектес

$3n$ бүтін сан табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Оң нақты

$A$ саны берілген. Келесі теңсіздік кез келген нақты оң

$x,y$ сандары үшін орындалатындай

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{A}{x+y} \ge \dfrac{M}{\sqrt{xy}}$

$M$ нақты санының ең үлкен мүмкін мәнін табыңдар. ( А. Васильев )
комментарий/решение(4)

Есеп №4.

$x^2 - 4x + 2 = 0$ теңдеудің кіші шешімін

$x$ деп белгілейік. Келесі санның ондық жазбасындағы үтірден кейінгі екі цифрін анықтаңдар

$x + x^2 + \ldots + x^{20}$ ?
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Кез келген

$ABC$ үшбұрышы берілген

$(AB < BC)$ .

$AC$ қабырғасының ортасын

$M$ деп белгілейік, ал

$N$ нүктесі арқылы

$B$ төбесі арқылы өтетін,

$ABC$ үшбұрышының сырттай шеңберінің

$AC$ доғасының ортасын белгілейік. Егер

$I$ нүктесі

$ABC$ үшбұрышының іштей сызылған шеңбердің центрі болса онда,

$\angle IMA = \angle INB$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(7)

Есеп №6.

$1, 2, \ldots, 2010$ сандары бір қатарға жазылған. Келесі жаңа қатарды қарастырайық: әр санға оның қатардағы нөмірін қосайық. Егер пайда болған жаңа қатардағы сандар әртүрлі болса, олардың ішінен айырмасы 2010-ға тең екі сан табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

результаты