Математикадан республикалық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 9 сынып

Есеп №1. $ABC$ үшбұрышының $B$ нүктесінен өтетін $\omega$ шеңбері $AC$ қабырғасын $D$ нүктесінде жанап, $AB$ және $BC$ қабырғаларын $P$ және $Q$ нүктелерінде сәйкесінше қиып өтеді. $PQ$ түзуі $BD$ түзуін $M$ нүктесінде, ал $AC$ түзуін $N$ нүктесінде қияды. $DMN$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңбері және $B$ нүктесінен өтетін әрі $PQ$ түзуін $M$нүктесінде жанайтын шеңбер және $\omega$ шеңберлері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңдер. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2)

---

Есеп №2. $A = \{ 1, 2, \ldots, 6n\}$ жиынының дәл $4n$ саны қызыл түске боялған, ал қалғаны көк түске боялған. $A$ жиынынан, ішінде дәл $2n$ саны қызыл түске боялған (ал қалған $n$ саны көк түске боялған) тізбектес $3n$ бүтін сан табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Оң нақты $A$ саны берілген. Келесі теңсіздік кез келген нақты оң $x,y$ сандары үшін орындалатындай $$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{A}{x+y} \ge \dfrac{M}{\sqrt{xy}}$$ $M$ нақты санының ең үлкен мүмкін мәнін табыңдар. ( А. Васильев )
комментарий/решение(4)

---

Есеп №4. $x^2 - 4x + 2 = 0$ теңдеудің кіші шешімін $x$ деп белгілейік. Келесі санның ондық жазбасындағы үтірден кейінгі екі цифрін анықтаңдар $x + x^2 + \ldots + x^{20}$?
комментарий/решение(1)

---

Есеп №5. Кез келген $ABC$ үшбұрышы берілген $(AB < BC)$. $AC$ қабырғасының ортасын $M$ деп белгілейік, ал $N$ нүктесі арқылы $B$ төбесі арқылы өтетін, $ABC$ үшбұрышының сырттай шеңберінің $AC$ доғасының ортасын белгілейік. Егер $I$ нүктесі $ABC$ үшбұрышының іштей сызылған шеңбердің центрі болса онда, $\angle IMA = \angle INB$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(5)

---

Есеп №6. $1, 2, \ldots, 2010$ сандары бір қатарға жазылған. Келесі жаңа қатарды қарастырайық: әр санға оның қатардағы нөмірін қосайық. Егер пайда болған жаңа қатардағы сандар әртүрлі болса, олардың ішінен айырмасы 2010-ға тең екі сан табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---