Республиканская олимпиада по математике, 2010 год, 9 класс

Окружность $\omega$ проходит через вершину $B$, касается стороны $AC$ в точке $D$ и пересекает стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $P$ и $Q$, соответственно. Прямая $PQ$ пересекает $BD$ в точке $M$, а $AC$ — в точке $N$. Докажите, что $\omega$, окружность, описанная около треугольника $DMN$, и окружность, касающаяся $PQ$ в точке $M$ и проходящая через $B$, пересекаются в одной точке. ( А. Васильев )

Комментарий/решение

Пусть окружности $O_{PQ},O_{AC}$ пересекаются в точке $Z$ проведем хорды $ZM,ZD$ на этих окружностях соответственно , получим что $ \angle ZDN = \angle ZBM , \angle ZMN = \angle ZBM$ или $ \angle ZDN=\angle ZMN$ как углы между хордой и касательной , и заметим что она опирается на дугу $ZN$.Значит точки $N,D,M,Z$ лежат на одной окружности , или $\Delta DMN$ вписанный, значит все три описанные окружности пересекаются в точке $Z$.