Математикадан республикалық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 9 сынып

$ABC$ үшбұрышының $B$ нүктесінен өтетін $\omega$ шеңбері $AC$ қабырғасын $D$ нүктесінде жанап, $AB$ және $BC$ қабырғаларын $P$ және $Q$ нүктелерінде сәйкесінше қиып өтеді. $PQ$ түзуі $BD$ түзуін $M$ нүктесінде, ал $AC$ түзуін $N$ нүктесінде қияды. $DMN$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңбері және $B$ нүктесінен өтетін әрі $PQ$ түзуін $M$нүктесінде жанайтын шеңбер және $\omega$ шеңберлері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңдер. ( А. Васильев )

Комментарий/решение

Пусть окружности $O_{PQ},O_{AC}$ пересекаются в точке $Z$ проведем хорды $ZM,ZD$ на этих окружностях соответственно , получим что $ \angle ZDN = \angle ZBM , \angle ZMN = \angle ZBM$ или $ \angle ZDN=\angle ZMN$ как углы между хордой и касательной , и заметим что она опирается на дугу $ZN$.Значит точки $N,D,M,Z$ лежат на одной окружности , или $\Delta DMN$ вписанный, значит все три описанные окружности пересекаются в точке $Z$.