Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 10 класс


Вписанная в треугольник ABC окружность с центром I касается сторон AB и AC в точках C1 и B1 соответственно. Точка M делит отрезок C1B1 в отношении 3:1, считая от C1. N — середина стороны AC. Докажите, что точки I, M, B1, N лежат на одной окружности, если известно что AC=3(BCAB). ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
8 года 2 месяца назад #

Перепишем условие AC=3(BCAB) через отрезки касательных , получим AB1+B1C=3(B1C+BA1BA1AB1) откуда получаем B1C=2AB1 иными словами AB1B1C=12 или AB1=AC3 и B1N=AC6. Для доказательство того , что точки I,M,B1,N лежат на одной окружности , достаточно показать что NMI=90 , так как IB1AC. Проведем из точки прямую MN до пересечения с AB и положим что ABMN=E использовав теорема Менелая для треугольника AB1C1 получим AEEC131B1NAN=1 так как B1NAN=13 откуда AE=EC1 то есть E середина AC1. Аналогично проведем прямую CM до пересечения с AB и GCMAB использовав опять теорему Менелая для треугольника AB1C1 получим AGGC131B1CAB1=1 так как B1CAB1=2AC3AC=23 получим AGGC1=12 преобразовав с учетом того что E середина получим AGGE=2. В итоге по той же теореме для треугольника NEA получим AGGEEMMNCNAC=1 подставляя найденные отношения 2EMMN12=1 откуда EM=MN . Заметим что если F середина AB1 то треугольник NIF - равнобедренный ( B1N=B1F и IB1AC) . Но IF=IE значит IE=IN тогда треугольник IEN - равнобедренный и так как M середина EN по доказанному ранее , стало быть IMEN или NMI=90 .