Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 10 класс
Комментарий/решение:
Перепишем условие AC=3(BC−AB) через отрезки касательных , получим AB1+B1C=3(B1C+BA1−BA1−AB1) откуда получаем B1C=2AB1 иными словами AB1B1C=12 или AB1=AC3 и B1N=AC6. Для доказательство того , что точки I,M,B1,N лежат на одной окружности , достаточно показать что ∠NMI=90∘ , так как IB1⊥AC. Проведем из точки прямую MN до пересечения с AB и положим что AB∩MN=E использовав теорема Менелая для треугольника AB1C1 получим AEEC1⋅31⋅B1NAN=1 так как B1NAN=13 откуда AE=EC1 то есть E середина AC1. Аналогично проведем прямую CM до пересечения с AB и G∈CM∩AB использовав опять теорему Менелая для треугольника AB1C1 получим AGGC1⋅31⋅B1CAB1=1 так как B1CAB1=2AC3AC=23 получим AGGC1=12 преобразовав с учетом того что E середина получим AGGE=2. В итоге по той же теореме для треугольника NEA получим AGGE⋅EMMN⋅CNAC=1 подставляя найденные отношения 2⋅EMMN⋅12=1 откуда EM=MN . Заметим что если F середина AB1 то треугольник NIF - равнобедренный ( B1N=B1F и IB1⊥AC) . Но IF=IE значит IE=IN тогда треугольник IEN - равнобедренный и так как M середина EN по доказанному ранее , стало быть IM⊥EN или ∠NMI=90∘ .
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.