Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 10 класс

Вписанная в треугольник $ABC$ окружность с центром $I$ касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно. Точка $M$ делит отрезок $C_1B_1$ в отношении $3:1$, считая от $C_1$. $N$ — середина стороны $AC$. Докажите, что точки $I$, $M$, $B_1$, $N$ лежат на одной окружности, если известно что $AC=3(BC-AB)$. ( А. Васильев )

Комментарий/решение

Перепишем условие $AC=3(BC-AB)$ через отрезки касательных , получим $AB_{1}+B_{1}C = 3(B_{1}C+BA_{1}-BA_{1}-AB_{1})$ откуда получаем $B_{1}C=2AB_{1}$ иными словами $\dfrac{AB_{1}}{B_{1}C}=\dfrac{1}{2}$ или $AB_{1}=\dfrac{AC}{3}$ и $B_{1}N=\dfrac{AC}{6}$. Для доказательство того , что точки $I,M,B_{1},N$ лежат на одной окружности , достаточно показать что $\angle NMI = 90^{\circ}$ , так как $IB_{1} \perp AC$. Проведем из точки прямую $MN$ до пересечения с $AB$ и положим что $AB \cap MN = E$ использовав теорема Менелая для треугольника $AB_{1}C_{1}$ получим $\dfrac{AE}{EC_{1}} \cdot \dfrac{3}{1} \cdot \dfrac{B_{1}N}{AN} = 1 $ так как $\dfrac{B_{1}N}{AN}=\dfrac{1}{3}$ откуда $AE=EC_{1}$ то есть $E$ середина $AC_{1}$. Аналогично проведем прямую $CM$ до пересечения с $AB$ и $G \in CM \cap AB$ использовав опять теорему Менелая для треугольника $AB_{1}C_{1}$ получим $\dfrac{AG}{GC_{1}} \cdot \dfrac{3}{1} \cdot \dfrac{B_{1}C}{AB_{1}} = 1 $ так как $\dfrac{B_{1}C}{AB_{1}} = \dfrac{\dfrac{2AC}{3}}{AC} = \dfrac{2}{3}$ получим $\dfrac{AG}{GC_{1}}=\dfrac{1}{2}$ преобразовав с учетом того что $E$ середина получим $\dfrac{AG}{GE}=2$. В итоге по той же теореме для треугольника $NEA$ получим $\dfrac{AG}{GE} \cdot \dfrac{EM}{MN} \cdot \dfrac{CN}{AC} = 1$ подставляя найденные отношения $ 2 \cdot \dfrac{EM}{MN} \cdot \dfrac{1}{2} =1 $ откуда $EM=MN$ . Заметим что если $F$ середина $AB_{1}$ то треугольник $NIF$ - равнобедренный ( $B_{1}N = B_{1}F$ и $IB_{1} \perp AC$) . Но $IF=IE$ значит $IE = IN$ тогда треугольник $IEN$ - равнобедренный и так как $M$ середина $EN$ по доказанному ранее , стало быть $IM \perp EN$ или $\angle NMI = 90^{\circ}$ .