Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 9 класс

Определите наименьшее возможное число $n > 1$ такое, что существует натуральные числа $a_1, a_2,\ldots, a_n,$ для которых ${(a_1+a_2+ \ldots+a_n)}^2-1$ делится на $a_1^2+a_2^2+ \ldots+a_n^2.$ ( А. Васильев )

Комментарий/решение

Заметим, что если сумма $a_1+ a_2+ \ldots + a_n$ делится на 2, то и $a_1^2+ a_2^2+ \ldots +a_n^2$ делится на 2, а $(a_1+ a_2+ \ldots + a_n )^2-1$ не делится на 2, а значит и не делится нацело на $a_1^2+ a_2^2+ \ldots +a_n^2$.

Так как $a_1+ a_2+ \ldots + a_n$ не делится на 2, то $(a_1+ a_2+ \ldots + a_n)^2≡1 \pmod{8} $ значит $$((a_1+ a_2+ \ldots + a_n )^2-1)/(a_1^2+ a_2^2+⋯+a_n^2 )$$ делится на 8 следовательно, $$(a_1+ a_2+⋯+ a_n )^2≥8( a_1^2+ a_2^2+⋯+a_n^2 )$$ но также по неравенству Коши-Шварца имеем $$n( a_1^2+ a_2^2+ \ldots +a_n^2)=(1+1+ \ldots +1)( a_1^2+ a_2^2+ \ldots +a_n^2)≥(a_1+ a_2+ \ldots + a_n )^2$$, откуда $n≥9$.

Пример: $a_1=a_2= \ldots =a_7=1 $ и $ a_8=a_9=2$.