Processing math: 56%

Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 9 класс


Определите наименьшее возможное число n>1 такое, что существует натуральные числа a1,a2,,an, для которых (a1+a2++an)21 делится на a21+a22++a2n. ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 5   2 | проверено модератором
8 года 11 месяца назад #

Заметим, что если сумма a1+a2++an делится на 2, то и a21+a22++a2n делится на 2, а (a1+a2++an)21 не делится на 2, а значит и не делится нацело на a21+a22++a2n.

Так как a1+a2++an не делится на 2, то (a_1+ a_2+ \ldots + a_n)^2≡1 \pmod{8} значит ((a_1+ a_2+ \ldots + a_n )^2-1)/(a_1^2+ a_2^2+⋯+a_n^2 ) делится на 8 следовательно, (a_1+ a_2+⋯+ a_n )^2≥8( a_1^2+ a_2^2+⋯+a_n^2 ) но также по неравенству Коши-Шварца имеем n( a_1^2+ a_2^2+ \ldots +a_n^2)=(1+1+ \ldots +1)( a_1^2+ a_2^2+ \ldots +a_n^2)≥(a_1+ a_2+ \ldots + a_n )^2, откуда n≥9.

Пример: a_1=a_2= \ldots =a_7=1 и a_8=a_9=2.