Математикадан республикалық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 9 сынып

Қандай ең кіші $n$ үшін $\left( n > 1 \right)$ мынадай ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n}}$ натурал сандары табылатынын анықта ${{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}} \right)}^{2}}-1$ саны $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}$ санына қалдықсыз бөлінеді. ( А. Васильев )

Комментарий/решение

Заметим, что если сумма $a_1+ a_2+ \ldots + a_n$ делится на 2, то и $a_1^2+ a_2^2+ \ldots +a_n^2$ делится на 2, а $(a_1+ a_2+ \ldots + a_n )^2-1$ не делится на 2, а значит и не делится нацело на $a_1^2+ a_2^2+ \ldots +a_n^2$.

Так как $a_1+ a_2+ \ldots + a_n$ не делится на 2, то $(a_1+ a_2+ \ldots + a_n)^2≡1 \pmod{8}$ значит $$((a_1+ a_2+ \ldots + a_n )^2-1)/(a_1^2+ a_2^2+⋯+a_n^2 )$$ делится на 8 следовательно, $$(a_1+ a_2+⋯+ a_n )^2≥8( a_1^2+ a_2^2+⋯+a_n^2 )$$ но также по неравенству Коши-Шварца имеем $$n( a_1^2+ a_2^2+ \ldots +a_n^2)=(1+1+ \ldots +1)( a_1^2+ a_2^2+ \ldots +a_n^2)≥(a_1+ a_2+ \ldots + a_n )^2$$ , откуда $n≥9$.

Пример: $a_1=a_2= \ldots =a_7=1$ и $a_8=a_9=2$.