Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 9 класс
Определите наименьшее возможное число n>1 такое, что существует натуральные числа a1,a2,…,an, для которых (a1+a2+…+an)2−1 делится на a21+a22+…+a2n.
(
А. Васильев
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Заметим, что если сумма a1+a2+…+an делится на 2, то и a21+a22+…+a2n делится на 2, а (a1+a2+…+an)2−1 не делится на 2, а значит и не делится нацело на a21+a22+…+a2n.
Так как a1+a2+…+an не делится на 2, то (a_1+ a_2+ \ldots + a_n)^2≡1 \pmod{8} значит ((a_1+ a_2+ \ldots + a_n )^2-1)/(a_1^2+ a_2^2+⋯+a_n^2 ) делится на 8 следовательно, (a_1+ a_2+⋯+ a_n )^2≥8( a_1^2+ a_2^2+⋯+a_n^2 ) но также по неравенству Коши-Шварца имеем n( a_1^2+ a_2^2+ \ldots +a_n^2)=(1+1+ \ldots +1)( a_1^2+ a_2^2+ \ldots +a_n^2)≥(a_1+ a_2+ \ldots + a_n )^2, откуда n≥9.
Пример: a_1=a_2= \ldots =a_7=1 и a_8=a_9=2.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.