Математикадан республикалық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 9 сынып
Қандай ең кіші n үшін (n>1) мынадай a1,a2,…,an натурал сандары табылатынын анықта (a1+a2+…+an)2−1 саны a21+a22+…+a2n санына қалдықсыз бөлінеді.
(
А. Васильев
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Заметим, что если сумма a1+a2+…+an делится на 2, то и a21+a22+…+a2n делится на 2, а (a1+a2+…+an)2−1 не делится на 2, а значит и не делится нацело на a21+a22+…+a2n.
Так как a1+a2+…+an не делится на 2, то (a1+a2+…+an)2≡1(mod8) значит ((a1+a2+…+an)2−1)/(a21+a22+⋯+a2n) делится на 8 следовательно, (a1+a2+⋯+an)2≥8(a21+a22+⋯+a2n) но также по неравенству Коши-Шварца имеем n(a21+a22+…+a2n)=(1+1+…+1)(a21+a22+…+a2n)≥(a1+a2+…+an)2, откуда n≥9.
Пример: a1=a2=…=a7=1 и a8=a9=2.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.