Processing math: 100%

Математикадан республикалық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 9 сынып


Қандай ең кіші n үшін (n>1) мынадай a1,a2,,an натурал сандары табылатынын анықта (a1+a2++an)21 саны a21+a22++a2n санына қалдықсыз бөлінеді. ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 5   2 | Модератормен тексерілді
9 года назад #

Заметим, что если сумма a1+a2++an делится на 2, то и a21+a22++a2n делится на 2, а (a1+a2++an)21 не делится на 2, а значит и не делится нацело на a21+a22++a2n.

Так как a1+a2++an не делится на 2, то (a1+a2++an)21(mod8) значит ((a1+a2++an)21)/(a21+a22++a2n) делится на 8 следовательно, (a1+a2++an)28(a21+a22++a2n) но также по неравенству Коши-Шварца имеем n(a21+a22++a2n)=(1+1++1)(a21+a22++a2n)(a1+a2++an)2, откуда n9.

Пример: a1=a2==a7=1 и a8=a9=2.