Областная олимпиада по математике, 2024 год, 9 класс
Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность с центром O. На стороне BC взята точка K, из которой опущены перпендикуляры KF и KG на стороны AB и AC, соответственно. Прямая AO пересекает прямые KG и KF в точках D и E соответственно. Докажите, что BD∥CE.
(
А. Васильев
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
L−BD∩ED
Б.О.О. D за △ABC
∠ABC=β∘ ∠BCA=γ∘
∠AOC=2β∘→∠CAO=90−β∘→∠ADG=β∘
∠CLD=∠ALB→△BLA∼△DLK→ALLK=BLDL
∠AOB=2γ∘→∠BAO=90−γ∘→∠LEK=∠AEF=γ∘
∠CLA=∠ELK→△ALC∼△KLE→ALLK=CLLE
CLLE=BLLD что уже является признаком параллельности
Пусть ∠(KCE)=β и ∠(BAO)=α. ∠(AOB)=180−2α,→∠(ACB)=90−α также если опустить серпер OM на AB, то выйдет что ∠(AOM)=∠(AEF)=90−α отсюда A,K,E,C лежат на одной окружности, ∠(KCE)=∠(KAE)=β. Пусть ∠(AOC)=γ→∠(AOC)=180−2γ если ON серпер на AC,⇒∠(AON)=∠(ADG)=90−γ,∠(ADK)=90+γ,∠(ABC)=90−γ, A,K,D,B лежат на одной окружности откуда ∠(KAD)=β=∠(DBK)=∠(KCE) тоесть BD∥CE
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.