Processing math: 100%

Областная олимпиада по математике, 2024 год, 9 класс


Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность с центром O. На стороне BC взята точка K, из которой опущены перпендикуляры KF и KG на стороны AB и AC, соответственно. Прямая AO пересекает прямые KG и KF в точках D и E соответственно. Докажите, что BDCE. ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
1 года 1 месяца назад #

LBDED

Б.О.О.  D  за  ABC

ABC=β   BCA=γ

AOC=2βCAO=90βADG=β

CLD=ALBBLADLKALLK=BLDL

AOB=2γBAO=90γLEK=AEF=γ

CLA=ELKALCKLEALLK=CLLE

CLLE=BLLD  что уже является признаком параллельности

  0
1 года 1 месяца назад #

A -точка симметричная A относительно O. Тогда FE||BA,DG||CA.

(AB,BC)=(AA,AC)=(AD,DG)

поэтому ADKB вписан, таким же образом AEKC вписанный.

(KB,BD)=(KA,AD)=(KC,CE).

  1
1 года 1 месяца назад #

Пусть (KCE)=β и (BAO)=α. (AOB)=1802α,(ACB)=90α также если опустить серпер OM на AB, то выйдет что (AOM)=(AEF)=90α отсюда A,K,E,C лежат на одной окружности, (KCE)=(KAE)=β. Пусть (AOC)=γ(AOC)=1802γ если ON серпер на AC,(AON)=(ADG)=90γ,(ADK)=90+γ,(ABC)=90γ, A,K,D,B лежат на одной окружности откуда (KAD)=β=(DBK)=(KCE) тоесть BDCE