Областная олимпиада по математике, 2024 год, 9 класс
Комментарий/решение:
N − центр описанной окружности △AMC; очевидно N∈AC
L − CM∩AB
D′ − точка симметричная D относительно N
Заметим:
AD′=CD; CD′=AD→AB⋅CD′=BC⋅AD′→ABBC=AD′CD′
По теореме биссектрис: BD′− биссектриса
MN− средняя линия △BDD′→MN∥BD′
∠ACM=α∘; ∠MCB=β∘
∠MNA=2∠ACM→∠BD′C=180−2α∘
∠D′BC=α−β∘→∠ABC=2α−2β∘
∠MLA=2α−β∘→∠MAB=90+β−2α∘
∠CAM+∠BCM=90−α+β∘
∠ACM+∠BAM=α+90−2α+β∘=90−α+β∘
Ч.Т.Д.
На лучах AM и CM отметим точки P и Q так, что AP = 2AM и CQ = 2CM.
Заметим, что BP ∥ AC ∥ BQ, откуда B ∈ P Q. Так как AM серединный
перпендикуляр к CQ, то AC = AQ. Аналогично CA = CP. Так как ACP Q —
параллелограмм, то P Q = AC = AQ = CP. Следовательно ACP Q — ромб.
Отметим на отрезке AC точку E так, что AE = CD. Тогда BE — биссектриса
угла ∠ABC, так как AB
BC =
CD
DA =
AE
EC . QBEA и BP CE — параллелограммы,
поэтому ∠CAM − ∠BAM = ∠QAM − ∠BAM = ∠BAQ = ∠ABE = ∠EBC =
∠BCP = ∠P CM − ∠BCM = ∠ACM − ∠BCM, ч.т.д.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.