Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2024 год, 9 класс


На стороне AC треугольника ABC выбрана точка D так, что ABAD=CBCD. Точка M — середина отрезка BD. Докажите, что если AMC=90, то CAM+BCM=ACM+BAM. ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
1 года 1 месяца назад #

N   центр описанной окружности  AMC; очевидно NAC

L  CMAB

D   точка симметричная  D  относительно  N

Заметим:

AD=CD; CD=ADABCD=BCADABBC=ADCD

По теореме биссектрис:  BD биссектриса

MN средняя линия BDDMNBD

ACM=α;   MCB=β

MNA=2ACMBDC=1802α

DBC=αβABC=2α2β

MLA=2αβMAB=90+β2α

CAM+BCM=90α+β

ACM+BAM=α+902α+β=90α+β

Ч.Т.Д.

  0
1 года назад #

На лучах AM и CM отметим точки P и Q так, что AP = 2AM и CQ = 2CM.

Заметим, что BP ∥ AC ∥ BQ, откуда B ∈ P Q. Так как AM серединный

перпендикуляр к CQ, то AC = AQ. Аналогично CA = CP. Так как ACP Q —

параллелограмм, то P Q = AC = AQ = CP. Следовательно ACP Q — ромб.

Отметим на отрезке AC точку E так, что AE = CD. Тогда BE — биссектриса

угла ∠ABC, так как AB

BC =

CD

DA =

AE

EC . QBEA и BP CE — параллелограммы,

поэтому ∠CAM − ∠BAM = ∠QAM − ∠BAM = ∠BAQ = ∠ABE = ∠EBC =

∠BCP = ∠P CM − ∠BCM = ∠ACM − ∠BCM, ч.т.д.