Областная олимпиада по математике, 2024 год, 9 класс

На стороне $AC$ треугольника $ABC$ выбрана точка $D$ так, что $AB\cdot AD=CB\cdot CD$. Точка $M$ — середина отрезка $BD$. Докажите, что если $\angle AMC=90^\circ$, то $\angle CAM+\angle BCM=\angle ACM+\angle BAM$. ( А. Васильев )

Комментарий/решение

$N \text{ } - \text{ }$ центр описанной окружности $\text{ } \triangle AMC;$ очевидно $N \in AC$

$L \text{ } - \text{ } CM \cap AB$

$D' \text{ } - \text{ }$ точка симметричная $\text{ } D \text{ }$ относительно $\text{ } N$

\[ \]

Заметим:

$AD' = CD; \text{ } CD' = AD \rightarrow AB \cdot CD' = BC \cdot AD' \rightarrow \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD'}{CD'}$

По теореме биссектрис: $\text{ } BD' - $ биссектриса

$MN -$ средняя линия $\triangle BDD' \rightarrow MN \parallel BD'$

\[ \]

$$\angle ACM = \alpha^\circ; \text{ } \text{ } \text{ } \angle MCB = \beta^\circ$$

$$\angle MNA = 2 \angle ACM \rightarrow \angle BD'C = 180 - 2\alpha^\circ$$

$$\angle D'BC = \alpha - \beta^\circ \rightarrow \angle ABC = 2\alpha - 2\beta^\circ$$

$$\angle MLA = 2\alpha - \beta^\circ \rightarrow \angle MAB = 90 + \beta -2\alpha^\circ$$

\[ \]

$$\angle CAM + \angle BCM = 90 - \alpha + \beta^\circ$$

$$\angle ACM + \angle BAM = \alpha + 90 - 2\alpha + \beta^\circ = 90 - \alpha + \beta^\circ$$

Ч.Т.Д.

На лучах AM и CM отметим точки P и Q так, что AP = 2AM и CQ = 2CM.

Заметим, что BP ∥ AC ∥ BQ, откуда B ∈ P Q. Так как AM серединный

перпендикуляр к CQ, то AC = AQ. Аналогично CA = CP. Так как ACP Q —

параллелограмм, то P Q = AC = AQ = CP. Следовательно ACP Q — ромб.

Отметим на отрезке AC точку E так, что AE = CD. Тогда BE — биссектриса

угла ∠ABC, так как AB

BC =

CD

DA =

AE

EC . QBEA и BP CE — параллелограммы,

поэтому ∠CAM − ∠BAM = ∠QAM − ∠BAM = ∠BAQ = ∠ABE = ∠EBC =

∠BCP = ∠P CM − ∠BCM = ∠ACM − ∠BCM, ч.т.д.