Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 9 класс


Дано натуральное число n. Один из корней квадратного уравнения x2ax+2n=0 равен 11+12++1n. Докажите, что 22na3n. ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
6 года 4 месяца назад #

Пусть корень равен S, выразив корень x=2n+a28n2 также выразив с него a (знак не имеет значения) откуда a=2n+S2S , подставляя в неравенство и решая как квадратное неравенство относительно S получается nS2n .

Докажем первое

1) n<1+12+...+1n по оценке 1+12+1+...+1n+n1S преобразовавывая левую часть 1+(21)+...+(nn1)=nS

2) вторую по мат индукций, база верна , тогда для k=n+1

S+1n+12n+1 или S+1n+12n+1n+12n+1 откуда n0 .

  0
2 месяца 11 дней назад #

S=ni=11i болсын. Онда S2aS+2n=0.

a22nS222nS+2n0(S2n)20.

Енді a3n теңсіздігінің дәлелдейік:

a3nS23nS+2n0(Sn)(S2n)0nS2n

S=ni=11ini=11n=n1n=n    Sn

S2=ni=112i<ni=11i1+i=ni=1(ii1)=n  S<2n