Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 9 класс
Дано натуральное число n. Один из корней квадратного уравнения x2−ax+2n=0 равен
1√1+1√2+…+1√n.
Докажите, что 2√2n≤a≤3√n.
(
А. Васильев
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть корень равен S, выразив корень x=2n+√a2−8n2 также выразив с него a (знак не имеет значения) откуда a=2n+S2S , подставляя в неравенство и решая как квадратное неравенство относительно S получается √n≤S≤2√n .
Докажем первое
1) √n<1+1√2+...+1√n по оценке 1+1√2+1+...+1√n+√n−1≤S преобразовавывая левую часть 1+(√2−1)+...+(√n−√n−1)=√n≤S
2) вторую по мат индукций, база верна , тогда для k=n+1
S+1√n+1≤2√n+1 или S+1√n+1≤2√n+1√n+1≤2√n+1 откуда n≥0 .
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.