Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 10 класс
Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел,
среднее арифметическое и среднее геометрическое делителей которых
одновременно являются целыми числами.
(
А. Васильев
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Возьмем некоторое n, равное p21, где p1 - это простое число, такое что p_{1} \equiv 1 \pmod {3}. Чисел p_{1}, очевидно, бесконечное количество, значит и n тоже.
Делители числа n это 1,p_{1},p_{1}^2.
1 \equiv p_1 \equiv p_1^2 \equiv 1 \pmod {3} \Rightarrow (1+p_{1}+p_{1}^2) \vdots 3. Среднее арифметическое этих чисел это \frac{1+p_{1}+p_{1}^2}{3} - целое число.
Среднее геометрическое этих чисел это \sqrt[3]{1 \cdot p_{1} \cdot p_{1}^2}=\sqrt[3]{p_1^3}=p_1 - целое число.
Значит число n подходит под условие, а таких n бесконечно.
Задача решена.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.