Processing math: 23%

Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 10 класс


Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, среднее арифметическое и среднее геометрическое делителей которых одновременно являются целыми числами. ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  6
4 года 1 месяца назад #

Возьмем некоторое n, равное p21, где p1 - это простое число, такое что p_{1} \equiv 1 \pmod {3}. Чисел p_{1}, очевидно, бесконечное количество, значит и n тоже.

Делители числа n это 1,p_{1},p_{1}^2.

1 \equiv p_1 \equiv p_1^2 \equiv 1 \pmod {3} \Rightarrow (1+p_{1}+p_{1}^2) \vdots 3. Среднее арифметическое этих чисел это \frac{1+p_{1}+p_{1}^2}{3} - целое число.

Среднее геометрическое этих чисел это \sqrt[3]{1 \cdot p_{1} \cdot p_{1}^2}=\sqrt[3]{p_1^3}=p_1 - целое число.

Значит число n подходит под условие, а таких n бесконечно.

Задача решена.

  0
4 года назад #

Решение неправильное.

  0
4 года назад #

Вполне правильно.