Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 10 класс

Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, среднее арифметическое и среднее геометрическое делителей которых одновременно являются целыми числами. ( А. Васильев )

Комментарий/решение

Возьмем некоторое $n$, равное $p_{1}^ 2$, где $p_{1}$ - это простое число, такое что $ p_{1} \equiv 1 \pmod {3}$. Чисел $p_{1}$, очевидно, бесконечное количество, значит и $n$ тоже.

Делители числа $n$ это $1,p_{1},p_{1}^2$.

$1 \equiv p_1 \equiv p_1^2 \equiv 1 \pmod {3} \Rightarrow (1+p_{1}+p_{1}^2) \vdots 3$. Среднее арифметическое этих чисел это $\frac{1+p_{1}+p_{1}^2}{3}$ - целое число.

Среднее геометрическое этих чисел это $\sqrt[3]{1 \cdot p_{1} \cdot p_{1}^2}=\sqrt[3]{p_1^3}=p_1$ - целое число.

Значит число $n$ подходит под условие, а таких $n$ бесконечно.

Задача решена.

Решение неправильное.

Вполне правильно.