Математикадан республикалық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 10 сынып

Есеп №1.

$ABC$ үшбұрышы берілген.

$C$ нүктесі арқылы өтетін, фокустары

$A$ және

$B$ нүктелері болатын

$\Omega_1$ эллипсін қарастырайық. Осыған ұқсас

$\Omega_2, \Omega_3$ (фокустары сәйкесінше

$B, C$ және

$C, A$ ) эллипстерін анықтаймыз. Егер осы үш эллипстің ортақ

$D$ нүктесі бар болса, онда

$A, B, C, D$ нүктелерінің бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңдер (фокустары деп аталатын бекітілген екі нүктеге дейінгі қашықтықтарының қосындысы тұрақты мәнге тең болатын нүктелердің геометриялық орны эллипс деп аталады). ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$\{a_n\}_{n \ge 1}$ тізбегі былайша анықталған:

$a_1 = \alpha \text{ және } n \ge 1 \text{ үшін } a_{n+1} = 2 a_n^2 - 1.$ Егер

$a_{2010} = 0$ болса,

$\alpha$ саны қанша әртүрлі нақты мән қабылдай алады? ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ тізбегіне \textit{іліністіру амалын} қолдансақ,

$(x_1x_2, x_2x_3, \ldots, x_nx_1)$ тізбегін аламыз. Қандай натурал

$n > 1$ сандары үшін

$1$ және

$-1$ сандарынан тұратын кез келген бастапқы тізбектен іліністіру амалын бірнеше рет қолданып, әрқашан

$(1, 1, \ldots, 1)$ тізбегін алуға болады?
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Кез келген нақты

$a_1, a_2, \ldots, a_n$ ,

$b_1, b_2, \ldots, b_n$ оң сандары үшін келесі теңсіздік орындалатынын дәлелдеңдер:

$(a_1^{2010} + a_2^{2010} + \ldots + a_n^{2010})(b_1^{2010} + b_2^{2010} + \ldots + b_n^{2010}) \ge$

$\ge (a_1b_1^{2009} + a_2b_2^{2009} + \ldots + a_nb_n^{2009})(a_1^{2009}b_1 + a_2^{2009}b_2 + \ldots + a_n^{2009}b_n).$ ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$ABCD$ дөңес төртбұрышының қабырғаларына сырттай

$ABK$ ,

$BCL$ ,

$CDM$ ,

$DAN$ дұрыс үшбұрыштары салынған.

$P$ және

$Q$ нүктелері арқылы сәйкесінше

$BL$ және

$AN$ кесінділерінің орталарын белгілейік. Егер

$X$ нүктесі арқылы

$CMD$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңбер центрін белгілесек, онда

$PQ \perp KX$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Жыл саны деп ондық жазбасы тек қана

$0, 1, 2$ цифрларынан құралған кез келген бүтін оң санды айтайық.

$A^2 + B$ түрінде келтіруге болмайтын шексіз көп натурал сан табылатынын дәлелдеңдер, мұндағы

$A$ — бүтін сан, ал

$B$ — жыл саны. ( А. Васильев )
комментарий/решение

результаты