қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 10 сынып
Есеп №1. $ABC$ үшбұрышы берілген. $C$ нүктесі арқылы өтетін, фокустары $A$ және $B$ нүктелері болатын $\Omega_1$ эллипсін қарастырайық. Осыған ұқсас $\Omega_2, \Omega_3$ (фокустары сәйкесінше $B, C$ және $C, A$) эллипстерін анықтаймыз. Егер осы үш эллипстің ортақ $D$ нүктесі бар болса, онда $A, B, C, D$ нүктелерінің бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңдер (фокустары деп аталатын бекітілген екі нүктеге дейінгі қашықтықтарының қосындысы тұрақты мәнге тең болатын нүктелердің геометриялық орны эллипс деп аталады).
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $\{a_n\}_{n \ge 1}$ тізбегі былайша анықталған: $$a_1 = \alpha \text{ және } n \ge 1 \text{ үшін } a_{n+1} = 2 a_n^2 - 1.$$ Егер $a_{2010} = 0$ болса, $\alpha$ саны қанша әртүрлі нақты мән қабылдай алады?
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ тізбегіне \textit{іліністіру амалын} қолдансақ, $(x_1x_2, x_2x_3, \ldots, x_nx_1)$ тізбегін аламыз. Қандай натурал $n > 1$ сандары үшін $1$ және $-1$ сандарынан тұратын кез келген бастапқы тізбектен іліністіру амалын бірнеше рет қолданып, әрқашан $(1, 1, \ldots, 1)$ тізбегін алуға болады?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Кез келген нақты $a_1, a_2, \ldots, a_n$, $b_1, b_2, \ldots, b_n$ оң сандары үшін келесі теңсіздік орындалатынын дәлелдеңдер:
$$(a_1^{2010} + a_2^{2010} + \ldots + a_n^{2010})(b_1^{2010} + b_2^{2010} + \ldots + b_n^{2010}) \ge $$
$$\ge (a_1b_1^{2009} + a_2b_2^{2009} + \ldots + a_nb_n^{2009})(a_1^{2009}b_1 + a_2^{2009}b_2 + \ldots + a_n^{2009}b_n).$$
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $ABCD$ дөңес төртбұрышының қабырғаларына сырттай $ABK$, $BCL$, $CDM$, $DAN$ дұрыс үшбұрыштары салынған. $P$ және $Q$ нүктелері арқылы сәйкесінше $BL$ және $AN$ кесінділерінің орталарын белгілейік. Егер $X$ нүктесі арқылы $CMD$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңбер центрін белгілесек, онда $PQ \perp KX$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Жыл саны деп ондық жазбасы тек қана $0, 1, 2$ цифрларынан құралған кез келген бүтін оң санды айтайық. $A^2 + B$ түрінде келтіруге болмайтын шексіз көп натурал сан табылатынын дәлелдеңдер, мұндағы $A$ — бүтін сан, ал $B$ — жыл саны.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение
комментарий/решение