Республиканская олимпиада по математике, 2010 год, 10 класс

Докажите, что для любых действительных чисел $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$, $b_1$, $b_2$, $\dots$, $b_n$ выполнено неравенство $$\left (a_1^{2010}+a_2^{2010} +\ldots+a_n^{2010}\right) \left (b_1^{2010}+b_2^{2010} + \ldots +b_n^{2010}\right) \geq \left (a_1b_1^{2009}+a_2b_2^{2009}+ \ldots+a_nb_n^{2009}\right) \left (a_1^{2009}b_1+a_2^{2009}b_2 +\ldots+a_n^{2009}b_n\right).$$ ( Д. Елиусизов )

Комментарий/решение

Обозначим множители как $A,B,C,D$ тогда нужно доказать что

$$AB\ge CD$$

По неравенству Гелдера :

$$AB^{2009} \ge C^{2010}$$

и

$$A^{2009}B\ge D^{2010}$$

перемножив оба неравенства получим требуемое.