Республиканская олимпиада по математике, 2013 год, 10 класс

Задача №1.  На доске записаны числа $1, 2, \ldots, 25$. За ход нужно стереть 3 некоторых числа $a$, $b$, $c$ написанных на доске и записать вместо него число $a^3+b^3+c^3$. Докажите, что последнее оставшееся число не может быть равно $2013^3$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3)

---

Задача №2.  Пусть $a$, $b$, $c$ натуральные такие, что для любого натурального $n$, число $((a^n - 1)(b^n - 1)(c^n -1) + 1)^3$ делится на $(abc)^n$. Докажите, что $a = b = c$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  Пусть диагонали вписанного выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$, а продолжение противоположных сторон $AB$ и $CD$ в точке $K$. Точки $M$ и $N$ на сторонах $AB$ и $CD$ соответственно такие, что выполняется равенство $AM/MB = CN/ND$. Пусть $MN$ пересекает диагонали $ABCD$ в точках $Q$ и $R$. Докажите, что описанные окружности треугольников $PRQ$ и $KMN$ касаются, причем в фиксированной точке плоскости. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

---

Задача №4. Пусть $a$, $b$, $c$ принадлежат отрезку $[-2, 2]$. Найдите наибольшее возможное значение суммы $|a^2 - bc + 1| + |b^2 - ca + 1| + |c^2 - ab + 1|.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Дан треугольник $ABC$. Пусть вписанная в него окружность касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $C_1$, $A_1$ и $B_1$ соответственно. Известно, что выполняется равенство $1/AC_1 + 1/BC_1 = 2/CA_1$. Докажите, что отрезок $CC_1$ делится вписанной окружностью в отношении $1:2$ считая от вершины $C$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3)

---

Задача №6.  Две черепахи одновременно выходят из точки с координатами $(0, 0)$ и на каждом шагу одновременно переходят на одну из целочисленных координат вверх или вправо (то есть из ${(x, y)}$ в ${(x+1,y)}$ или в ${(x,y+1)}$). Сколько существует способов им добраться до точки $(n, n)$, если последний раз они встречались только в точке $(0, 0)$? ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(3)

---