Республиканская олимпиада по математике, 2013 год, 10 класс

Пусть $a$, $b$, $c$ принадлежат отрезку $[-2, 2]$. Найдите наибольшее возможное значение суммы $|a^2 - bc + 1| + |b^2 - ca + 1| + |c^2 - ab + 1|.$ ( Сатылханов К. )

Комментарий/решение

Ответ: 19.

Предположим некоторые два из подмодульных выражений отрицательны. Тогда без ограничения общности $$|bc|\ge bc>a^2+1, |ac|\ge ac>b^2+1\Rightarrow (|a|+|b|)|c|>a^2+b^2+2\ge 2(|a|+|b|)\Rightarrow |c|>2$$противоречие.

БОО $a\ge b\ge c$.

1) Если все модули раскрываются со знаком +, и $x=a-b,y=b-c,x+y=a-c\le4$, тогда данное выражение принимает вид$$a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc+3= \frac12((a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2)+3=x^2+y^2+xy+3\le 4(4-y)+y^2+3=(y-2)^2+15\le19$$Здесь для оценки использовано, что $x\le4-y$ и $0\le x,y\le 4$. Равенство достигается либо при $x=0$, либо при $y=0$. То есть $(a,b,c)=(2,2,-2),(2,-2,-2)$ и перестановки - это все точки равенства

2)$a^2-bc+1\ge b^2-ac+1\ge c^2-ab+1$, поэтому в случае, если один из модулей раскрывается со знаком минус $a^2+b^2-c^2-ac-bc+ab+1=a^2+b^2+\frac12((a+b)^2-(a+c)^2-(b+c)^2)+1\le a^2+b^2+\frac12(a+b)^2+1\le 4+4+8+1=17$

Ответ: 19

Пример: $(a,b,c)=(2,2,-2)$

Решение:

Возьмем $f(a, b, c) = |a^2 - bc + 1| + |b^2 - ac + 1| + |c^2 - ab + 1|$и также возьмем что $|a| \geq |b| \geq |c|$.

Заметим что $f(a,b,c) \leq f(a,b,-c)$ иза этого достаточно разобрать когда $a,b>0$ и $c<0$.

Пусть $|c|=x$ тогда найдем $MAX(f(a,b,x))$ где $f(a, b, x) = a^2 + bx + 1 + b^2 + ax+ 1+ |x^2 - ab + 1|$ для $a,b,x \in (0;2]$

Для этого разберем два случая:

$1) |x^2 - ab + 1|>0$

$y=f(a,b,x)$ тогда:

$\dfrac{dy}{da}=2a+x-b>0$

$\dfrac{dy}{dx}=2x+a+b>0$

$\dfrac{dy}{db}=2b+x-a>0$

Отсюда функция строго возрастает на интервале $(0;2]$ и максимально значение достигает при $(a,b,x)=2$ другими словами $f(a,b,x) \leq f(2,2,2)=19$.

$2) |x^2 - ab + 1|<0$

$f(a, b, -x) = a^2 + bx + 1 + b^2 + ax+ 1-x^2 +ab - 1$.

$\dfrac{dy}{da}=2a+x+b>0$

$\dfrac{dy}{dx}=-2x+a+b>0$

$\dfrac{dy}{db}=2b+x+a>0$

И аналогично первому случаю $f(a,b,c)=f(a,b,x) \leq f(2,2,2)=19$.

P.S: Можно также просто разобрать когда $a,b<0$ и $c>0$ так как $f(a,b,-c)=f(-a,-b,c)$.

Не уверен можно ли так: Пусть наше выражение это $f(a, b, c)$ и рассмотрим лишь случай $a, b>0$ и $c<0$. Тогда если зафиксировать две переменных, то из линейности нашего выражения его максимум будет на краях интервала третьей переменной. То есть все переменные равны либо $2$ либо $-2$, отсюда легко следует требуемое.