Республиканская олимпиада по математике, 2013 год, 10 класс

Пусть $a$, $b$, $c$ принадлежат отрезку $[-2, 2]$. Найдите наибольшее возможное значение суммы $|a^2 - bc + 1| + |b^2 - ca + 1| + |c^2 - ab + 1|.$ ( Сатылханов К. )

Комментарий/решение

Ответ: 19.

Предположим некоторые два из подмодульных выражений отрицательны. Тогда без ограничения общности $$|bc|\ge bc>a^2+1, |ac|\ge ac>b^2+1\Rightarrow (|a|+|b|)|c|>a^2+b^2+2\ge 2(|a|+|b|)\Rightarrow |c|>2$$ противоречие.

БОО $a\ge b\ge c$.

1) Если все модули раскрываются со знаком +, и $x=a-b,y=b-c,x+y=a-c\le4$, тогда данное выражение принимает вид $$a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc+3= \frac12((a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2)+3=x^2+y^2+xy+3\le 4(4-y)+y^2+3=(y-2)^2+15\le19$$ Здесь для оценки использовано, что $x\le4-y$ и $0\le x,y\le 4$. Равенство достигается либо при $x=0$, либо при $y=0$. То есть $(a,b,c)=(2,2,-2),(2,-2,-2)$ и перестановки - это все точки равенства

2)$a^2-bc+1\ge b^2-ac+1\ge c^2-ab+1$, поэтому в случае, если один из модулей раскрывается со знаком минус $a^2+b^2-c^2-ac-bc+ab+1=a^2+b^2+\frac12((a+b)^2-(a+c)^2-(b+c)^2)+1\le a^2+b^2+\frac12(a+b)^2+1\le 4+4+8+1=17$