Математикадан республикалық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 10 сынып

Есеп №1. Тақтада 1, 2,

$\ldots$ , 25 сандары жазылған. Бір жүрісте қандай-да бір үш

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандарын өшіріп, олардың орнына

$a^3+b^3+c^3$ қосындысын жазады. Ең соңындағы жалғыз қалған сан

$2013^3$ бола алмайтынын көрсетіндер. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3)

Есеп №2. Натурал

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандары үшін, натурал

$n$ санының кез келген мәнінде

$((a^n - 1)(b^n - 1)(c^n -1) + 1)^3$ саны

$(abc)^n$ санына бөлінсін. Олай болса

$a = b = c$ екенін дәлелдеңдер. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Іштей сызылған дөңес

$ABCD$ төртбұрышының диагональдары

$P$ , ал

$AB$ және

$CD$ түзулері

$K$ нүктесінде қиылыссын.

$AB$ және

$CD$ қабырғаларынан

$AM/MB = CN/ND$ болатындай сәйкесінше

$M$ және

$N$ нүктелері алынсын.

$MN$

$ABCD$ -ның диагональдарын

$Q$ және

$R$ нүктелерінде қисын.

$PRQ$ және

$KMN$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер жазықтықтың бір тұрақты нүктесінде жанасатынын дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандары

$[-2, 2]$ кесіндісіндегі сандар болсын.

$|a^2 - bc + 1| + |b^2 - ca + 1| + |c^2 - ab + 1|$ қосындысының ең үлкен мүмкін мәнін табыңдар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$ABC$ берілген үшбұрыш болсын. Оған іштей сызылған шеңбер

$AB$ ,

$BC$ және

$AC$ қабырғаларын сәйкесінше

$C_1$ ,

$A_1$ және

$B_1$ нүктелерінде жанасын.

$1/AC_1 + 1/BC_1 = 2/CA_1$ теңдігі орындалатыны белгілі болса,

$CC_1$ кесіндісі іштей сызылған шеңбермен

$C$ төбесінен санағанда

$1:2$ қатынаста бөлінетінін дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3)

Есеп №6. Екі тасбақа бір уақытта координатасы

$(0, 0)$ нүктеден шығып, әр жүрісте бір уақытта бір бүтін координатаға оңға немесе жоғары қарай жүреді (яғни

$\left( {x,y} \right)$ нүктесінен

$\left( {x + 1,y} \right)$ немесе

$\left( {x,y+1} \right)$ нүктесіне). Егер тасбақалар соңғы рет

$\left( {0,0} \right)$ нүктесінде кездескен болса, олар

$\left( {n,n} \right)$ нүктесіне қанша әдіспен жете алады? ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(3)

результаты