қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 10 сынып
Есеп №1. Тақтада 1, 2, $\ldots$, 25 сандары жазылған. Бір жүрісте қандай-да бір үш $a$, $b$ және $c$ сандарын өшіріп, олардың орнына $a^3+b^3+c^3$ қосындысын жазады. Ең соңындағы жалғыз қалған сан $2013^3$ бола алмайтынын көрсетіндер.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №2. Натурал $a$, $b$ және $c$ сандары үшін, натурал $n$ санының кез келген мәнінде $((a^n - 1)(b^n - 1)(c^n -1) + 1)^3$ саны $(abc)^n$ санына бөлінсін. Олай болса $a = b = c$ екенін дәлелдеңдер.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. Іштей сызылған дөңес $ABCD$ төртбұрышының диагональдары $P$, ал $AB$ және $CD$ түзулері $K$ нүктесінде қиылыссын. $AB$ және $CD$ қабырғаларынан $AM/MB = CN/ND$ болатындай сәйкесінше $M$ және $N$ нүктелері алынсын. $MN$ $ABCD$-ның диагональдарын $Q$ және $R$ нүктелерінде қисын. $PRQ$ және $KMN$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер жазықтықтың бір тұрақты нүктесінде жанасатынын дәлелдеңдер.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $a$, $b$ және $c$ сандары $[-2, 2]$ кесіндісіндегі сандар болсын. $|a^2 - bc + 1| + |b^2 - ca + 1| + |c^2 - ab + 1|$ қосындысының ең үлкен мүмкін мәнін табыңдар.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $ABC$ берілген үшбұрыш болсын. Оған іштей сызылған шеңбер $AB$, $BC$ және $AC$ қабырғаларын сәйкесінше $C_1$, $A_1$ және $B_1$ нүктелерінде жанасын. $1/AC_1 + 1/BC_1 = 2/CA_1$ теңдігі орындалатыны белгілі болса, $CC_1$ кесіндісі іштей сызылған шеңбермен $C$ төбесінен санағанда $1:2$ қатынаста бөлінетінін дәлелдеңдер.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №6. Екі тасбақа бір уақытта координатасы $(0, 0)$ нүктеден шығып, әр жүрісте бір уақытта бір бүтін координатаға оңға немесе жоғары қарай жүреді (яғни $\left( {x,y} \right)$ нүктесінен $\left( {x + 1,y} \right)$ немесе $\left( {x,y+1} \right)$ нүктесіне). Егер тасбақалар соңғы рет $\left( {0,0} \right)$ нүктесінде кездескен болса, олар $\left( {n,n} \right)$ нүктесіне қанша әдіспен жете алады?
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)