Processing math: 100%

Математикадан республикалық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 10 сынып


Тақтада 1, 2, , 25 сандары жазылған. Бір жүрісте қандай-да бір үш a, b және c сандарын өшіріп, олардың орнына a3+b3+c3 қосындысын жазады. Ең соңындағы жалғыз қалған сан 20133 бола алмайтынын көрсетіндер. ( Сатылханов К. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  5
4 года 9 месяца назад #

По малой теореме Ферма x3x(mod3) откуда a3+b3+c3a+b+c(mod3)

Значит если последнее число на доске будет 20133 , то 201331+2+...+25(mod3) или 01(mod3)

что невозможно. Значит последнее число не может быть 20133.

  7
2 года 3 месяца назад #

т.к. все числа в кубе дают по моду 10 разный остаток 131(mod10),238(mod10),,337(mod10),,434(mod10),,535(mod10),,636(mod10),,733(mod10),,832(mod10),,939(mod10),1030(mod10), значит сумируем все числа от 1 до 25 и находим последнию цифру это 5 а последняя цифра 20133 это 7 так что это невозможно

  12
2 года 3 месяца назад #

Решение не верно. Помоему вы хотели повторить идею из прошлого решения, но вы не доказали, что сумма чисел mod 3 остается инвариантом.