Республиканская олимпиада по математике, 2013 год, 10 класс
На доске записаны числа $1, 2, \ldots, 25$. За ход нужно стереть 3 некоторых числа $a$, $b$, $c$ написанных на доске и записать вместо него число $a^3+b^3+c^3$. Докажите, что последнее оставшееся число не может быть равно $2013^3$.
(
Сатылханов К.
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
т.к. все числа в кубе дают по моду $10$ разный остаток $1^3\equiv 1 \pmod{10} ,2^3\equiv 8 \pmod{10} ,,3^3\equiv 7 \pmod{10} ,,4^3\equiv 4 \pmod{10} ,,5^3\equiv 5 \pmod{10} ,,6^3\equiv 6\pmod{10} ,,7^3\equiv 3 \pmod{10} ,,8^3\equiv 2 \pmod{10} ,,9^3\equiv 9 \pmod{10},10^3\equiv 0 \pmod{10} , $ значит сумируем все числа от $1$ до $25$ и находим последнию цифру это $5$ а последняя цифра $2013^3$ это $7$ так что это невозможно
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.