Processing math: 28%

Математикадан республикалық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 10 сынып


Тақтада 1, 2, , 25 сандары жазылған. Бір жүрісте қандай-да бір үш a, b және c сандарын өшіріп, олардың орнына a3+b3+c3 қосындысын жазады. Ең соңындағы жалғыз қалған сан 20133 бола алмайтынын көрсетіндер. ( Сатылханов К. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  5
4 года 9 месяца назад #

По малой теореме Ферма x^3\equiv x\pmod 3 откуда a^3+b^3+c^3\equiv a+b+c\pmod 3

Значит если последнее число на доске будет 2013^3 , то 2013^3\equiv 1+2+...+25\pmod 3 или 0\equiv 1\pmod 3

что невозможно. Значит последнее число не может быть 2013^3.

  7
2 года 3 месяца назад #

т.к. все числа в кубе дают по моду 10 разный остаток 1^3\equiv 1 \pmod{10} ,2^3\equiv 8 \pmod{10} ,,3^3\equiv 7 \pmod{10} ,,4^3\equiv 4 \pmod{10} ,,5^3\equiv 5 \pmod{10} ,,6^3\equiv 6\pmod{10} ,,7^3\equiv 3 \pmod{10} ,,8^3\equiv 2 \pmod{10} ,,9^3\equiv 9 \pmod{10},10^3\equiv 0 \pmod{10} , значит сумируем все числа от 1 до 25 и находим последнию цифру это 5 а последняя цифра 2013^3 это 7 так что это невозможно

  12
2 года 3 месяца назад #

Решение не верно. Помоему вы хотели повторить идею из прошлого решения, но вы не доказали, что сумма чисел mod 3 остается инвариантом.