Математикадан республикалық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 10 сынып

Тақтада 1, 2, $\ldots$, 25 сандары жазылған. Бір жүрісте қандай-да бір үш $a$, $b$ және $c$ сандарын өшіріп, олардың орнына $a^3+b^3+c^3$ қосындысын жазады. Ең соңындағы жалғыз қалған сан $2013^3$ бола алмайтынын көрсетіндер. ( Сатылханов К. )

Комментарий/решение

По малой теореме Ферма $$x^3\equiv x\pmod 3$$ откуда $$a^3+b^3+c^3\equiv a+b+c\pmod 3$$

Значит если последнее число на доске будет $2013^3$ , то $$2013^3\equiv 1+2+...+25\pmod 3$$ или $$0\equiv 1\pmod 3$$

что невозможно. Значит последнее число не может быть $2013^3$.

т.к. все числа в кубе дают по моду $10$ разный остаток $1^3\equiv 1 \pmod{10} ,2^3\equiv 8 \pmod{10} ,,3^3\equiv 7 \pmod{10} ,,4^3\equiv 4 \pmod{10} ,,5^3\equiv 5 \pmod{10} ,,6^3\equiv 6\pmod{10} ,,7^3\equiv 3 \pmod{10} ,,8^3\equiv 2 \pmod{10} ,,9^3\equiv 9 \pmod{10},10^3\equiv 0 \pmod{10} , $ значит сумируем все числа от $1$ до $25$ и находим последнию цифру это $5$ а последняя цифра $2013^3$ это $7$ так что это невозможно

Решение не верно. Помоему вы хотели повторить идею из прошлого решения, но вы не доказали, что сумма чисел $mod$ $3$ остается инвариантом.