Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 9 класс, 2017 год

Задача №1. В таблице

$3\times 3$ расставлены положительные числа. Произведение чисел в каждой строке и в каждом столбце равно 1, а произведение чисел в любом квадрате

$2\times 2$ равно 2. Какое число стоит в центре?
комментарий/решение(1)

Задача №2. Известно, что для чисел

$a,b,x,y$ выполнено неравенство

${{(ab)}^{3}}+{{(xy)}^{3}}\ge {{(ax)}^{3}}+{{(by)}^{3}}$ . Докажите, что для этих же чисел выполнено неравенство

$ab+xy\ge ax+by$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3)

Задача №3. К окружности с центром в точке

$O$ из точки

$A$ проведена касательная

$AB$ . Точка

$C$ лежит на окружности, отлична от точки

$B$ и

$AO\parallel BC$ . Пусть

$ABCD$ параллелограмм, и

$M$ — точка пересечения его диагоналей. Докажите, что

$AB=2MO$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

Задача №4. Назовем натуральное число абсолютно простым, если произвольно переставляя его цифры, мы будем всегда получать простое число. Например, число 113 абсолютно простое (113, 131, 311 - все простые). Докажите, что не существует абсолютно простого числа, десятичная запись которого содержит все цифры 1, 3, 7, 9. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)

Задача №5. Пусть

${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{10}}$ — перестановка цифр

$0,1,\ldots ,9$ и

$M=\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{5}} \right)\left( {{a}_{6}}+{{a}_{7}}+\ldots +{{a}_{10}} \right)$ . Чему может равняться максимальное и минимальное значение

$M$ . Для каждого найденного ответа приведите пример. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

Задача №6. Даны числа 1, 2,

$\ldots$ , 299, 300. Какое наибольшее количество из них можно выбрать и расставить в ряд в некотором порядке так, чтобы получилась последовательность чисел, удовлетворяющая двум условиям:
1) сумма любых четырех подряд идущих чисел не делится на 3;
2) сумма любых пяти подряд идущих чисел делится на 3?
комментарий/решение(1)

Задача №7. В стране есть

$2n$ городов. Известно, что среди любых трех городов найдутся два, которые не соединены прямой дорогой. Найдите максимальное количество дорог в этой стране.
комментарий/решение(1)

Задача №8. Дан треугольник

$ABC$ с углами

$\angle A=40{}^\circ$ и

$\angle B=80{}^\circ$ . На отрезке

$AB$ взяты точки

$K$ и

$L$ (точка

$K$ лежит между точками

$A$ и

$L$ ) такие что

$AK=BL$ и

$\angle KCL=30{}^\circ$ . Найдите угол

$LCB$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)