қазақша
русскийҚалалық Жәутіков олимпиадасы, 9 сынып, 2017 жыл
Есеп №1. $3\times 3$ кестесіне оң сандар жазылған. Әр жолдағы және әр бағандағы сандардың көбейтіндісі 1-ге, ал әр $2\times 2$ шаршыдағы сандардың көбейтіндісі 2-ге тең. Центрде қандай сан орналасқан?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $a$, $b$, $x$, $y$ сандары үшін ${{(ab)}^{3}}+{{(xy)}^{3}}\ge {{(ax)}^{3}}+{{(by)}^{3}}$ теңсіздігі орындалатыны белгілі болса, мына теңсіздікті дәлелде: $ab+xy\ge ax+by.$
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №3. Центрі $O$ болатын шеңберге $A$ нүктесінен $AB$ жанамасы жүргізілген. Шеңбер бойынан $B$-дан өзге $AO\parallel BC$ болатындай $C$ нүктесі алынған. $ABCD$ параллелограмм болсын, және $M$ нүктесі оның диагоналдарының қиылысу нүктесі болсын. Онда $AB=2MO$ екенін дәлелде.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Егер натурал санның цифрларын қандай ретпен ауыстырып жазсақ та жай сан алсақ, онда оны абсолют жай деп атаймыз. Мысалы, 113 абсолют жай сан (113, 131, 311 – бәрі жай сандар). Ондық жазылуында 1, 3, 7, 9 цифрінің бәрі кездесетін абсолют жай сан табылмайтынын дәлелде.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{10}}$ сандары $0,1,\ldots ,9$ цифрларының орын ауыстыруы болсын, және $M=\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{5}} \right)\left( {{a}_{6}}+{{a}_{7}}+\ldots +{{a}_{10}} \right)$ болсын. $M$ санының ең үлкен және ең кіші мәндері қандай бола алады? Табылған жауаптарға мысал келтіріңіз.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. 1, 2, $\ldots$, 299, 300 сандары берілген. Осы сандардан, қандай да бір ретпен қатарға орналастырғанда, пайда болған сандар тізбегі төмендегі шартты қанағаттандыратындай ең көп дегенде қанша сан таңдап алуға болады:
1) кез келген қатар орналасқан төрт санның қосындысы 3-ке бөлінбейді;
2) кез келген қатар орналасқан бес санның қосындысы 3-ке бөлінеді.
комментарий/решение(1)
1) кез келген қатар орналасқан төрт санның қосындысы 3-ке бөлінбейді;
2) кез келген қатар орналасқан бес санның қосындысы 3-ке бөлінеді.
комментарий/решение(1)
Есеп №7. Елде $2n$ қала бар. Кез келген үш қала үшін, түзу жолмен қосылмаған екі қала табылатыны белгілі. Елде ең көп дегенде қанша жол бар екенін табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №8. $ABC$ үшбұрышында $\angle A=40{}^\circ $ және $\angle B=80{}^\circ $болсын. $AB$ қабырғасынан $AK=BL$ және $\angle KCL=30{}^\circ $ болатындай $K$ және $L$ нүктелері алынған ($K$ нүктесі $A$ мен $L$ нүктелерінің арасында орналасқан). $LCB$ бұрышын табыңыз.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)