Қалалық Жәутіков олимпиадасы, 9 сынып, 2017 жыл

Есеп №1.

$3\times 3$ кестесіне оң сандар жазылған. Әр жолдағы және әр бағандағы сандардың көбейтіндісі 1-ге, ал әр

$2\times 2$ шаршыдағы сандардың көбейтіндісі 2-ге тең. Центрде қандай сан орналасқан?
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$a$ ,

$b$ ,

$x$ ,

$y$ сандары үшін

${{(ab)}^{3}}+{{(xy)}^{3}}\ge {{(ax)}^{3}}+{{(by)}^{3}}$ теңсіздігі орындалатыны белгілі болса, мына теңсіздікті дәлелде:

$ab+xy\ge ax+by.$ ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3)

Есеп №3. Центрі

$O$ болатын шеңберге

$A$ нүктесінен

$AB$ жанамасы жүргізілген. Шеңбер бойынан

$B$ -дан өзге

$AO\parallel BC$ болатындай

$C$ нүктесі алынған.

$ABCD$ параллелограмм болсын, және

$M$ нүктесі оның диагоналдарының қиылысу нүктесі болсын. Онда

$AB=2MO$ екенін дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Егер натурал санның цифрларын қандай ретпен ауыстырып жазсақ та жай сан алсақ, онда оны абсолют жай деп атаймыз. Мысалы, 113 абсолют жай сан (113, 131, 311 – бәрі жай сандар). Ондық жазылуында 1, 3, 7, 9 цифрінің бәрі кездесетін абсолют жай сан табылмайтынын дәлелде. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{10}}$ сандары

$0,1,\ldots ,9$ цифрларының орын ауыстыруы болсын, және

$M=\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{5}} \right)\left( {{a}_{6}}+{{a}_{7}}+\ldots +{{a}_{10}} \right)$ болсын.

$M$ санының ең үлкен және ең кіші мәндері қандай бола алады? Табылған жауаптарға мысал келтіріңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

Есеп №6. 1, 2,

$\ldots$ , 299, 300 сандары берілген. Осы сандардан, қандай да бір ретпен қатарға орналастырғанда, пайда болған сандар тізбегі төмендегі шартты қанағаттандыратындай ең көп дегенде қанша сан таңдап алуға болады:
1) кез келген қатар орналасқан төрт санның қосындысы 3-ке бөлінбейді;
2) кез келген қатар орналасқан бес санның қосындысы 3-ке бөлінеді.
комментарий/решение(1)

Есеп №7. Елде

$2n$ қала бар. Кез келген үш қала үшін, түзу жолмен қосылмаған екі қала табылатыны белгілі. Елде ең көп дегенде қанша жол бар екенін табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №8.

$ABC$ үшбұрышында

$\angle A=40{}^\circ$ және

$\angle B=80{}^\circ$ болсын.

$AB$ қабырғасынан

$AK=BL$ және

$\angle KCL=30{}^\circ$ болатындай

$K$ және

$L$ нүктелері алынған (

$K$ нүктесі

$A$ мен

$L$ нүктелерінің арасында орналасқан).

$LCB$ бұрышын табыңыз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)