Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 9 класс, 2017 год

Дан треугольник $ABC$ с углами $\angle A=40{}^\circ$ и $\angle B=80{}^\circ$. На отрезке $AB$ взяты точки $K$ и $L$ (точка $K$ лежит между точками $A$ и $L$) такие что $AK=BL$ и $\angle KCL=30{}^\circ$. Найдите угол $LCB$. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: $\angle LCB=20{}^\circ$.
Решение. Допустим, что кроме пар точек $K$ и $L$, удовлетворяющих условию, существует еще пара точек ${K}'$ и ${L}'$ на отрезке $AB$ таких, что $A{K}'=B{L}'$. Тогда, очевидно, что отрезок $KL$ лежит полностью внутри отрезка ${K}'{L}'$ или наоборот, соответственно $\angle {K}'C{L}'$ либо больше $30{}^\circ$, либо меньше. Значит такая пара только одна. Предположим, что $\angle ACK=10{}^\circ$, тогда $\angle LCB=20{}^\circ$. Подсчетом углов легко увидеть, что треугольники $ALC,$ $CLB$ и $BCK$ – равнобедренные. Значит $AL=LC=BC=BK$, или $AK=BL$. Так как таких пар точек больше нет, делаем вывод, что $\angle LCB=20{}^\circ$.