Қалалық Жәутіков олимпиадасы, 9 сынып, 2017 жыл

$ABC$ үшбұрышында $\angle A=40{}^\circ$ және $\angle B=80{}^\circ$болсын. $AB$ қабырғасынан $AK=BL$ және $\angle KCL=30{}^\circ$ болатындай $K$ және $L$ нүктелері алынған ($K$ нүктесі $A$ мен $L$ нүктелерінің арасында орналасқан). $LCB$ бұрышын табыңыз. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: $\angle LCB=20{}^\circ$.
Решение. Допустим, что кроме пар точек $K$ и $L$, удовлетворяющих условию, существует еще пара точек ${K}'$ и ${L}'$ на отрезке $AB$ таких, что $A{K}'=B{L}'$. Тогда, очевидно, что отрезок $KL$ лежит полностью внутри отрезка ${K}'{L}'$ или наоборот, соответственно $\angle {K}'C{L}'$ либо больше $30{}^\circ$, либо меньше. Значит такая пара только одна. Предположим, что $\angle ACK=10{}^\circ$, тогда $\angle LCB=20{}^\circ$. Подсчетом углов легко увидеть, что треугольники $ALC,$ $CLB$ и $BCK$ – равнобедренные. Значит $AL=LC=BC=BK$, или $AK=BL$. Так как таких пар точек больше нет, делаем вывод, что $\angle LCB=20{}^\circ$.