Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 9 класс, 2017 год

Пусть ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{10}}$ — перестановка цифр $0,1,\ldots ,9$ и $M=\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{5}} \right)\left( {{a}_{6}}+{{a}_{7}}+\ldots +{{a}_{10}} \right)$. Чему может равняться максимальное и минимальное значение $M$. Для каждого найденного ответа приведите пример. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Заметим, что $a_1+a_2+...+a_{10}=0+1+2+..+9=45$. Пусть $a_1+...+a_5=n$. Тог

$$M=(a_1+...+a_5)(a_6+...+a_{10})=n(45-n),$$

где $n$ пробегает все значения от $0+1+2+3+4=10$ до $5+6+7+8+9=35$.

Исследуем на максимум и минимум функцию $f(x)=x(45-x)=-x^2+45x$ в промежутке $x \in [10;45]$. График функции $f(x$) $-$ это парабола, ветви которого смотрят вниз, вершина находится в точке $x_0=22,\!5$. Следовательно, минимальное значение достигается в одной из точек $x=10$ или $x=35$, а максимальное в точке $x=22$ или $x=23$ (точку $x_0=22,\!5$ не можем взять, так как $x$ принимает только натуральные значения.).

Осталось заметить, что и при $x=10$ и при $x=35$ $M_{\min}=10 \cdot 35=350$, а при $x=22$ и $x=23$ $M_{\max}=23 \cdot 22=506.$