Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 9 класс, 2017 год

К окружности с центром в точке $O$ из точки $A$ проведена касательная $AB$. Точка $C$ лежит на окружности, отлична от точки $B$ и $AO\parallel BC$. Пусть $ABCD$ параллелограмм, и $M$ — точка пересечения его диагоналей. Докажите, что $AB=2MO$. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Продлим за точку $M$ отрезок $OM$ так что $OM = O'M$ то есть $OO'=2OM$ , тогда четырехугольник $AOCO'$ - параллелограмм , так как $CM=AM$ . Откуда $AO'=OC=R=OB$ значит четырехугольник $OBO'A$ - равнобедренная трапеция , откуда $OO' = AB = 2OM$ (диагонали трапеций) и $\angle OO'A=90^{\circ}$.