Республиканская олимпиада по математике, 2009 год, 11 класс

Задача №1. Докажите, что для любого натурального

$n\geq2$ , число

$\underbrace{2^{2^{ \dots ^{2}}}}_{n \text{ раз}}-\underbrace{2^{2^{ \dots .^{2}}}}_{n-1 \text{ раз}}$ делится на

$n$ .
комментарий/решение(2)

Задача №2. В треугольнике

$АBC$ проведены высоты

$AA_1$ ,

$BB_1$ ,

$CC_1$ . Обозначим центры вписанных окружностей треугольников

$AC_1B_1$ и

$CA_1B_1$ через

$I_1$ и

$I_2$ соответственно. Пусть вписанная окружность треугольника

$ABC$ касается стороны

$AC$ в точке

$B_2$ . Докажите, что четырехугольник

$I_1I_2B_1B_2$ — вписанный.
комментарий/решение(1)

Задача №3. В шахматном турнире участвуют

$n$ человек (

$n > 1$ — натуральное число). За весь турнир каждый игрок играет с каждым другим ровно одну партию. В каждой партии игроку за выигрыш начисляется 1 очко, за ничью —

$0,\!5$ очков, а за проигрыш — 0 очков. Если по окончании турнира игрок набирает не менее

$75\%$ от максимального возможного количества очков, которые он может набрать, то ему присваивается разряд. Какое наибольшее количество участников турнира могут получить разряд?
комментарий/решение

Задача №4. Докажите, что для чисел

$0 < a_{1}\leq a_{2}\leq \dots \leq a_{n}$ (

$n\geq 3$ ) выполнено неравенство

$\frac{a_{1}^{2}}{a_{2}}+\frac{a_{2}^{3}}{a_{3}^{2}}+\ldots+\frac{a_{n}^{n+1}}{a_{1}^{n}}\geq a_{1}+a_{2}+ \ldots +a_{n}.$ ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(2)

Задача №5. Четырехугольник

$ABCD$ вписан в окружность с центром

$O$ . Пусть прямые

$AD$ и

$BC$ пересекаются в точке

$M$ , прямые

$AB$ и

$CD$ — в точке

$N$ , прямые

$AC$ и

$BD$ — в точке

$P$ , а прямые

$OP$ и

$MN$ — в точке

$K$ . Докажите, что

$\angle PKC=\angle AKP$ .
комментарий/решение(2)

Задача №6. Докажите, что не существует четырех точек на плоскости таких, что расстояние между любыми двумя из них является нечетным целым числом.
комментарий/решение(3)