Республиканская олимпиада по математике, 2009 год, 11 класс
Докажите, что для чисел 0<a1≤a2≤⋯≤an (n≥3) выполнено неравенство
a21a2+a32a23+…+an+1nan1≥a1+a2+…+an.
(
Д. Елиусизов
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим получаем:
a21a2+a2≥2√a21a2⋅a2=2a1
a32a23+a3+a3≥33√a32a23⋅a3⋅a3=3a2
⋅⋅⋅
ak+1kakk+1≥(k+1)ak−kak+1.
для любого k≤n.
Естественно an+1=a1.
Складывая все эти неравенства и используя упорядоченность получаем наше неравенство.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.