қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 11 сынып
Есеп №1. Әрбір $n\ge 2$ натурал саны үшін $\underbrace{2^{2^{ \dots ^{2}}}}_{n \text{ рет}}-\underbrace{2^{2^{ \dots .^{2}}}}_{n-1 \text{ рет}}$ саны $n$ санына бөлінетінін дәлелде.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. $ABC$ үшбұрышында $AA_1$, $BB_1$ және $CC_1$ биіктіктері жүргізілген. $AC_1B_1$ және $CA_1B_1$ үшбұрыштарының іштей сызылған шеңбер центрлерін $I_1$ және $I_2$ арқылы белгілейік. $ABC$ үшбұрышының іштей сызылған шеңбері $AC$ қабырғасын $B_2$ нүктесінде жанасын. $I_1I_2B_1B_2$ төртбұрышына сырттай шеңбер сызуға болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Шахмат турнирінде $n$ адам ойнайды (мұндағы $n > 1$ — натурал сан). Турнир барысында әрбір ойыншы басқа әрбір ойыншымен дәл бір партия ойнауы тиіс. Әрбір партия үшін ұтқан адамға 1 ұпай, тең ойнаған адамға $0,\!5$ ұпай, ал ұтылған адамға 0 ұпай беріледі. Егер турнир аяқталған соң ойыншы максимал мүмкін ұпай санының $75\%$-нан кем емес ұпай санын жинаса, оған дәреже беріледі. Ең көп дегенде неше ойыншыға дәреже берілуі мүмкін?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Кез келген $0 < {{a}_{1}}\le {{a}_{2}}\le \ldots \le {{a}_{n}}$ ($n\ge 3$) сандары үшін
$\dfrac{a_{1}^{2}}{{{a}_{2}}}+\dfrac{a_{2}^{3}}{a_{3}^{2}}+\ldots +\dfrac{a_{n}^{n+1}}{a_{1}^{n}}\ge {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}$
теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №5. $ABCD$ төртбұрышы центрі $O$ болатын шеңберге іштей сызылған. $AD$ және $BC$ түзулері $M$ нүктесінде, $AB$ және $CD$ түзулері $N$ нүктесінде, $AC$ және $BD$ түзулері $P$ нүктесінде, ал $OP$ және $MN$ түзулері $K$ нүктесінде қиылыссын. Онда $\angle AKP=\angle PKC$ екенін дәлелде.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №6. Кез келген екі нүктенің ара қашықтығы бүтін тақ сан болатындай етіп, жазықтықта төрт нүкте таңдап алуға болмайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)