Математикадан республикалық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 11 сынып

Есеп №1. Әрбір

$n\ge 2$ натурал саны үшін

$\underbrace{2^{2^{ \dots ^{2}}}}_{n \text{ рет}}-\underbrace{2^{2^{ \dots .^{2}}}}_{n-1 \text{ рет}}$ саны

$n$ санына бөлінетінін дәлелде.
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышында

$AA_1$ ,

$BB_1$ және

$CC_1$ биіктіктері жүргізілген.

$AC_1B_1$ және

$CA_1B_1$ үшбұрыштарының іштей сызылған шеңбер центрлерін

$I_1$ және

$I_2$ арқылы белгілейік.

$ABC$ үшбұрышының іштей сызылған шеңбері

$AC$ қабырғасын

$B_2$ нүктесінде жанасын.

$I_1I_2B_1B_2$ төртбұрышына сырттай шеңбер сызуға болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Шахмат турнирінде

$n$ адам ойнайды (мұндағы

$n > 1$ — натурал сан). Турнир барысында әрбір ойыншы басқа әрбір ойыншымен дәл бір партия ойнауы тиіс. Әрбір партия үшін ұтқан адамға 1 ұпай, тең ойнаған адамға

$0,\!5$ ұпай, ал ұтылған адамға 0 ұпай беріледі. Егер турнир аяқталған соң ойыншы максимал мүмкін ұпай санының

$75\%$ -нан кем емес ұпай санын жинаса, оған дәреже беріледі. Ең көп дегенде неше ойыншыға дәреже берілуі мүмкін?
комментарий/решение

Есеп №4. Кез келген

$0 < {{a}_{1}}\le {{a}_{2}}\le \ldots \le {{a}_{n}}$ (

$n\ge 3$ ) сандары үшін

$\dfrac{a_{1}^{2}}{{{a}_{2}}}+\dfrac{a_{2}^{3}}{a_{3}^{2}}+\ldots +\dfrac{a_{n}^{n+1}}{a_{1}^{n}}\ge {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}$ теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(2)

Есеп №5.

$ABCD$ төртбұрышы центрі

$O$ болатын шеңберге іштей сызылған.

$AD$ және

$BC$ түзулері

$M$ нүктесінде,

$AB$ және

$CD$ түзулері

$N$ нүктесінде,

$AC$ және

$BD$ түзулері

$P$ нүктесінде, ал

$OP$ және

$MN$ түзулері

$K$ нүктесінде қиылыссын. Онда

$\angle AKP=\angle PKC$ екенін дәлелде.
комментарий/решение(2)

Есеп №6. Кез келген екі нүктенің ара қашықтығы бүтін тақ сан болатындай етіп, жазықтықта төрт нүкте таңдап алуға болмайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)