Республиканская олимпиада по математике, 2009 год, 11 класс

В треугольнике $АBC$ проведены высоты $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$. Обозначим центры вписанных окружностей треугольников $AC_1B_1$ и $CA_1B_1$ через $I_1$ и $I_2$ соответственно. Пусть вписанная окружность треугольника $ABC$ касается стороны $AC$ в точке $B_2$. Докажите, что четырехугольник $I_1I_2B_1B_2$ — вписанный.

Комментарий/решение

Достаточно показать то что $B_2I_2 \ || \ AA_1$ и $ B_2I_1 \ || \ CC_1 $ , покажем первое (второе аналогично) , требуется показать что: $$\dfrac{CB_2}{AB_2} = \dfrac{CI_2}{TI_2}$$

1) Если $\angle BAC = A, \ \angle BCA = C$ тогда из тр-а $AIC$ получается: $$\dfrac{CB_2}{AB_2} = \tan(\frac{A}{2}) \cdot \cot(\frac{C}{2}) $$ но так как $AA_1$ биссектриса $\angle B_1A_1C_2$ если $T \in CI_2 \cap AA_1$ тогда из тр-ка $CA_1T$: $$\dfrac{CI_2}{TI_2} = \tan(\frac{A}{2}) \cdot \cot(\frac{C}{2}) $$.

2) $\angle I_1B_2I_2 = \angle AHC = 180^{\circ}-\angle ABC$ но $\angle I_1B_1I_2 = 180^{\circ}-\angle ABC$