Республиканская олимпиада по математике, 2009 год, 11 класс

В треугольнике $АBC$ проведены высоты $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$. Обозначим центры вписанных окружностей треугольников $AC_1B_1$ и $CA_1B_1$ через $I_1$ и $I_2$ соответственно. Пусть вписанная окружность треугольника $ABC$ касается стороны $AC$ в точке $B_2$. Докажите, что четырехугольник $I_1I_2B_1B_2$ — вписанный.

Комментарий/решение

h_Рисунок@http://rgho.st/8YcVCXqsj_h

Положим так же , что точки касания окружностей с центрами в точках $I_{1}$ и $I_{2}$ со стороной $AC$ есть $B_{4}$ и $B_{3}$ соответственно . То что четырехугольник $I_{1}I_{2}B_{1}B_{2}$ вписанный , вытекает из того что $B_{2}I_{1} = B_{2}I_{2}$ , докажем это .

Из треугольников $B_{4}B_{2}I_{1}$ и $B_{3}B_{2}I_{2}$ , получим по теореме Пифагора

$B_{4}B_{2}^2+R_{1}^2 = B_{3}B_{2}^2+R_{2}^2$ или что тоже самое , что $(ctg(\dfrac{ \angle A}{2}) \cdot (R-R_{1}))^2+R_{1}^2 = (ctg( \dfrac{ \angle C}{2}) \cdot (R-R_{2}))^2+R_{2}^2$ (1) .

Рассмотрим гомотетию с центром в точке $A$ и коэффициентом $\dfrac{R_{1}}{R}$ точка $B_{1}$ перейдет в точку $B$ , так же и другая точка треугольника $AB_{1}C_{1}$ , тогда получим

$\dfrac{R_{1}}{R} = \dfrac{B_{1}C_{1}}{BC} = cos \angle A$ . По таким же соображениям$\dfrac{R_{2}}{R} = \dfrac{B_{1}A_{1}}{BA} = cos \angle C$ .

Подставляя значения в (1) , получим что надо доказать

$ctg^2(\dfrac{ \angle A}{2}) \cdot (1-cos \angle A))^2 + cos^2 \angle A = ctg^2( \dfrac{ \angle C}{2}) \cdot (1-cos \angle C)^2 + (cos \angle C)^2$ , которая верна, потому что

$ctg^2(\dfrac{ \angle A}{2}) \cdot (1-cos \angle A))^2 + cos^2 \angle A = sin^2 \angle A+cos^2 \angle A = 1$ , вторая симметрична данной и так же равна $1$.