Математикадан республикалық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 11 сынып
Комментарий/решение:
h_Рисунок@http://rgho.st/8YcVCXqsj_h
Положим так же , что точки касания окружностей с центрами в точках I1 и I2 со стороной AC есть B4 и B3 соответственно . То что четырехугольник I1I2B1B2 вписанный , вытекает из того что B2I1=B2I2 , докажем это .
Из треугольников B4B2I1 и B3B2I2 , получим по теореме Пифагора
B4B22+R21=B3B22+R22 или что тоже самое , что (ctg(∠A2)⋅(R−R1))2+R21=(ctg(∠C2)⋅(R−R2))2+R22 (1) .
Рассмотрим гомотетию с центром в точке A и коэффициентом R1R точка B1 перейдет в точку B , так же и другая точка треугольника AB1C1 , тогда получим
R1R=B1C1BC=cos∠A . По таким же соображениямR2R=B1A1BA=cos∠C .
Подставляя значения в (1) , получим что надо доказать
ctg2(∠A2)⋅(1−cos∠A))2+cos2∠A=ctg2(∠C2)⋅(1−cos∠C)2+(cos∠C)2 , которая верна, потому что
ctg2(∠A2)⋅(1−cos∠A))2+cos2∠A=sin2∠A+cos2∠A=1 , вторая симметрична данной и так же равна 1.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.