Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан республикалық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 11 сынып


ABC үшбұрышында AA1, BB1 және CC1 биіктіктері жүргізілген. AC1B1 және CA1B1 үшбұрыштарының іштей сызылған шеңбер центрлерін I1 және I2 арқылы белгілейік. ABC үшбұрышының іштей сызылған шеңбері AC қабырғасын B2 нүктесінде жанасын. I1I2B1B2 төртбұрышына сырттай шеңбер сызуға болатынын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   -1
8 года 5 месяца назад #

h_Рисунок@http://rgho.st/8YcVCXqsj_h

Положим так же , что точки касания окружностей с центрами в точках I1 и I2 со стороной AC есть B4 и B3 соответственно . То что четырехугольник I1I2B1B2 вписанный , вытекает из того что B2I1=B2I2 , докажем это .

Из треугольников B4B2I1 и B3B2I2 , получим по теореме Пифагора

B4B22+R21=B3B22+R22 или что тоже самое , что (ctg(A2)(RR1))2+R21=(ctg(C2)(RR2))2+R22 (1) .

Рассмотрим гомотетию с центром в точке A и коэффициентом R1R точка B1 перейдет в точку B , так же и другая точка треугольника AB1C1 , тогда получим

R1R=B1C1BC=cosA . По таким же соображениямR2R=B1A1BA=cosC .

Подставляя значения в (1) , получим что надо доказать

ctg2(A2)(1cosA))2+cos2A=ctg2(C2)(1cosC)2+(cosC)2 , которая верна, потому что

ctg2(A2)(1cosA))2+cos2A=sin2A+cos2A=1 , вторая симметрична данной и так же равна 1.