Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 10 класс

Дано натуральное число $n$. Докажите неравенство $\displaylines{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i(i+1)(i+2)(i+3)(i+4)} < \frac{1}{96}.}$ ( Д. Елиусизов )

Комментарий/решение

Можно попробовать найти сумму данного ряда, положим что $x=i=1$ . Пусть сумма равна $A$

Для этого найдем $S(x)=\int {\dfrac{dx}{x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}}$ разложив на простейшие дроби $\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+1}+\dfrac{C}{x+2} + \dfrac{D}{x+3} + \dfrac{E}{x+4}$ приравнивая коэффициенты получим

$\left\{ \begin{gathered} A+B+C+D+E=0,\\ 10A+9B+8C+7D+6E = 0 , \\ 35A+26B + 19C + 14D + 11E = 0 , \\ 50A+24B+12C+8D + 6E = 0 , \\ 24A=1\\ \\ \end{gathered} \right.$

Откуда $A=\dfrac{1}{24} , B= - \dfrac{1}{6} , C= \dfrac{1}{4} , D = -\dfrac{1}{6} , D=\dfrac{1}{24}$

Значит $S(x) =\dfrac{ln \left( \dfrac{x(x+2)^6(x+4)}{(x+1)^4(x+3)^4} \right) }{24}$ , значит для следующего числа $x \Rightarrow x+1$ , интеграл будет равен $S(x+1)=\dfrac{ln \left( \dfrac{(x+1)(x+3)^6(x+5)}{(x+2)^4(x+4)^4} \right) }{24}$ итд , в частности интересует сумма всех $S=S(x)+S(x+1)+...+S(x+n) = \dfrac{ln \left ( \dfrac{x(x+2)^3(x+2+n)^3(x+4+n)}{(x+1)^3(x+3)(x+1+n)(x+3+n)^3} \right)}{24}$ осталось найти $S'$ которая будет равна $S'= \dfrac{(n+1)(n+2x+4)(n^2+2nx+5n + 2x^2+8x+6)}{4x(x+1)(x+2)(x+3)(n+x+1)(n+x+2)(n+x+3)(n+x+4)}$ но так как , изначально $x=1$ то подставив за место $x=1$ получим рекуррентную сумму для любого $n$ , в итоге

$A = S' = \dfrac{n(n+5)( n^2+5n+10) }{96(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$ , осталось вычислить $S' _{n -> \infty} = \dfrac{1}{96}$ , но $A < S'_{n-> \infty} = \dfrac{1}{96}$ чтд .

А можно найти сумму этого ряда более легким способом, просто заметим:

$\frac {4}{i(i+1)(i+2)(i+3)(i+4)}$ =$\frac {1}{i(i+1)(i+2)(i+3)}$ - $\frac {1}{(i+1)(i+2)(i+3)(i+4)}$. Суммируя по всем получим ответ $1/96$

"Просто заметим"))

А вообще, идея должна приходить с Telescoping Sums: $$\frac{1}{n(n+1)}= \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.$$

Такая бесконечная сумма будет по-тихоньку сокращать саму себя. Отсюда и логичная задумка: а вдруг наше выражение тоже можно так выразить:

$$\frac{A}{i(i+1)(i+2)(i+3)}-\frac{B}{(i+1)(i+2)(i+3)(i+4)}.$$

Решая это простейшее уравнение, находим, что очень удачно $A=0.25, B=0.25$, дальше всё само по себе получится.