Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2005 год, 10 класс


Найдите все функции f:RR, где R — поле вещественных чисел, удовлетворяющие тождеству f(xy+f(x))=xf(y)+f(x) для любых x,yR. ( Д. Елиусизов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
4 года 11 месяца назад #

Решение: Рассмотрим функцию g(x)=f(x)x.

g(g(x)+x(y+1))=g(xy+f(x))=f(xy+f(x))xyf(x)=xf(y)+f(x)xyf(x)=x(f(y)y)=xg(y)

g(g(x)+x(y+1))=xg(y)(1)

Случай 1. Пусть g(1)0

Теперь, докажем что из равенства g(a)=g(b) сдедует равенство a=b.

x=a,y=1g(g(a))=ag(1)

x=b,y=1g(g(b))=bg(1)

При g(a)=g(b) выполняется равенства g(g(a))=g(g(b))

Следовательно из двух уравнений получим

g(1)a=g(1)ba=b

Теперь подставив

значение y=1 в уравнение (1) получим

g(g(1)+y+1)=g(y)g(1)+y+1=уg(1)=1

Подставив значение y=1 и x=g(x) в уравнение (1) получим

g(g(g(x))2g(x))=g(x)g(1)=g(x)(1)=g(x)g(g(x))2g(x)=x

Легко понять, что g(x)=Ax.

A2x2Ax=xx(A+1)2=0A=1

g(x)=f(x)x=xf(x)=0,xR

Случай 2. Пусть g(1)=0. Тогда в уравнение (1) подставим значение y=1 и получим

g(g(x))=0

g(x) линейная функция, график которого проходит через точки (1;0) и (0;0). То есть, g(x)=0. Отсюда g(x)=f(x)x=0f(x)=x,xR

Ответ:f(x)=0,f(x)=xxR

пред. Правка 2   1
4 года 1 месяца назад #

Пусть P(x;y) означает это равенство.

P(x;0) f(f(x))=xf(0)+f(x),(1)

Предположим f(0)0:

Если для каких-то действительных a,b f(a)=f(b), то

f(f(a))f(a)=f(f(b))f(b), пользуясь (1) a=b.

Следовательно f иньективна.

P(0;0) f(f(0))=f(0)f(0)=0, противоречие.

То есть f(0) = 0:

Тогда (1) имеет вид: f(f(x))=f(x),(2)

Если f(x)=0,xR подходит под ответ.

Иначе tRf(t)0.

P(f(t);1)

f(f(t)+f(f(t)))=f(t)f(1)+f(f(t)), пользуясь (2)

f(t)(f(1)+1)=0,f(-1) = -1.

Предположим f(1)=0:

P(x;1) f(x+f(x))=f(x),(3)

P(x+f(x);1) f(xf(x)+f(x+f(x)))=xf(x)+f(x+f(x)),

пользуясь (3) f(x)=x,x1,f(1)=1.

противоречие, то есть f(1)0.

Для x0:

P(x;xf(x)x) f(xf(x)x)=0,(4)

P(xf(x)x;1)

f(xf(x)x+f(xf(x)x))=(xf(x)x)f(1)+f(xf(x)x)

пользуясь (4) получаем f(x)=x,x0.

Так как f(0)=0,f(x)=x,xR

Ответ:

1)f(x)=0,xR

2)f(x)=x,xR