Республиканская олимпиада по математике, 2005 год, 10 класс
Комментарий/решение:
Решение: Рассмотрим функцию g(x)=f(x)−x.
g(g(x)+x(y+1))=g(xy+f(x))=f(xy+f(x))−xy−f(x)=xf(y)+f(x)−xy−f(x)=x(f(y)−y)=xg(y)
g(g(x)+x(y+1))=xg(y)(1)
Случай 1. Пусть g(−1)≠0
Теперь, докажем что из равенства g(a)=g(b) сдедует равенство a=b.
x=a,y=−1⇒g(g(a))=ag(−1)
x=b,y=−1⇒g(g(b))=bg(−1)
При g(a)=g(b) выполняется равенства g(g(a))=g(g(b))
Следовательно из двух уравнений получим
g(−1)a=g(−1)b⇒a=b
Теперь подставив
значение y=1 в уравнение (1) получим
g(g(1)+y+1)=g(y)⇒g(1)+y+1=у⇒g(1)=−1
Подставив значение y=1 и x=−g(x) в уравнение (1) получим
g(g(−g(x))−2g(x))=−g(x)g(1)=−g(x)⋅(−1)=g(x)⇒g(−g(x))−2g(x)=x
Легко понять, что g(x)=Ax.
−A2x−2Ax=x⇒x(A+1)2=0⇒A=−1
g(x)=f(x)−x=−x⇒f(x)=0,∀x∈R
Случай 2. Пусть g(−1)=0. Тогда в уравнение (1) подставим значение y=−1 и получим
g(g(x))=0
g(x)− линейная функция, график которого проходит через точки (−1;0) и (0;0). То есть, g(x)=0. Отсюда g(x)=f(x)−x=0⇒f(x)=x,∀x∈R
Ответ:f(x)=0,f(x)=x∀x∈R
Пусть P(x;y) означает это равенство.
P(x;0) f(f(x))=xf(0)+f(x),(1)
Предположим f(0)≠0:
Если для каких-то действительных a,b⇒ f(a)=f(b), то ⇒
f(f(a))−f(a)=f(f(b))−f(b), пользуясь (1) ⇒a=b.
Следовательно f− иньективна.
P(0;0) f(f(0))=f(0)⇒f(0)=0, противоречие.
То есть f(0) = 0:
Тогда (1) имеет вид: f(f(x))=f(x),(2)
Если f(x)=0,∀x∈R⇒ подходит под ответ.
Иначе ∃t∈R⇒f(t)≠0.
P(f(t);−1)
f(−f(t)+f(f(t)))=f(t)f(−1)+f(f(t)), пользуясь (2)⇒
f(t)(f(−1)+1)=0,⇒f(-1) = -1.
Предположим f(1)=0:
P(x;1) f(x+f(x))=f(x),(3)
P(x+f(x);−1) f(−x−f(x)+f(x+f(x)))=−x−f(x)+f(x+f(x)),
пользуясь (3)⇒ f(−x)=−x,x⇒−1,⇒f(1)=1.
противоречие, то есть f(1)≠0.
Для ∀x≠0:
P(x;x−f(x)x) f(x−f(x)x)=0,(4)
P(x−f(x)x;1)
f(x−f(x)x+f(x−f(x)x))=(x−f(x)x)f(1)+f(x−f(x)x)
пользуясь (4) получаем f(x)=x,∀x≠0.
Так как f(0)=0,⇒f(x)=x,∀x∈R
Ответ:
1)f(x)=0,∀x∈R
2)f(x)=x,∀x∈R
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.