XV математическая олимпиада «Шелковый путь», 2016 год

Задача №2. Вокруг остроугольного треугольника $ABC$ ($AC>CB$) описана окружность, а точка $N$ — середина дуги $ACB$ этой окружности. Пусть точки $A_1$ и $B_1$ — основания перпендикуляров на прямую $NC$, проведенные из точек $A$ и $B$ соответственно (отрезок $NC$ лежит внутри отрезка $A_1B_1$). Высота $A_1A_2$ треугольника $A_1AC$ и высота $B_1B_2$ треугольника $B_1BC$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что $\angle A_1KN=\angle B_1KM$, где $M$ — середина отрезка $A_2B_2$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3)

Задача №3. Даны натуральные числа $a,b$ и функция $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} $ такая, что для любого натурального $n$ число $f\left( n+a \right)$ делится на $f\left( {\left[ {\sqrt n } \right] + b} \right)$. Докажите, что для любого натурального $n$ существует $n$ попарно различных и попарно взаимно простых натуральных чисел ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots$, ${{a}_{n}}$ такие, что число $f\left( {{a}_{i+1}} \right)$ делится на $f\left( {{a}_{i}} \right)$ для каждого $i=1,2, \dots ,n-1$. (Здесь $[x]$ — целая часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$; $\mathbb{N}$ — множество натуральных чисел.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

Задача №4. Пусть $P(n)$ это количество способов разбить натуральное число $n$ на сумму степеней двойки, при этом порядок не имеет значение. Например $P(5) = 4$, так как $5=4+1=2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1$. Докажите, что для любого натурального $n$ верно тождество $$P(n) + (-1)^{a_1} P(n-1) + (-1)^{a_2} P(n-2) + \ldots + (-1)^{a_{n-1}} P(1) + (-1)^{a_n} = 0,$$ где $a_k$ — количество единиц в двоичной записи числа $k$. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(2)

результаты