XV математическая олимпиада «Шелковый путь», 2016 год

Задача №1. Пусть

$a$ ,

$b$ и

$c$ такие действительные числа, что

$\left| \left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( c-a \right) \right|=1.$ Найдите наименьшее значение выражения

Задача №2. Вокруг остроугольного треугольника

$ABC$ (

$AC>CB$ ) описана окружность, а точка

$N$ — середина дуги

$ACB$ этой окружности. Пусть точки

$A_1$ и

$B_1$ — основания перпендикуляров на прямую

$NC$ , проведенные из точек

$A$ и

$B$ соответственно (отрезок

$NC$ лежит внутри отрезка

$A_1B_1$ ). Высота

$A_1A_2$ треугольника

$A_1AC$ и высота

$B_1B_2$ треугольника

$B_1BC$ пересекаются в точке

$K$ . Докажите, что

$\angle A_1KN=\angle B_1KM$ , где

$M$ — середина отрезка

$A_2B_2$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3)

Задача №3. Даны натуральные числа

$a,b$ и функция

$f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ такая, что для любого натурального

$n$ число

$f\left( n+a \right)$ делится на

$f\left( {\left[ {\sqrt n } \right] + b} \right)$ . Докажите, что для любого натурального

$n$ существует

$n$ попарно различных и попарно взаимно простых натуральных чисел

${{a}_{1}}$ ,

${{a}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{a}_{n}}$ такие, что число

$f\left( {{a}_{i+1}} \right)$ делится на

$f\left( {{a}_{i}} \right)$ для каждого

$i=1,2, \dots ,n-1$ . (Здесь

$[x]$ — целая часть числа

$x$ , то есть наибольшее целое число, не превосходящее

$x$ ;

$\mathbb{N}$ — множество натуральных чисел.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

Задача №4. Пусть

$P(n)$ это количество способов разбить натуральное число

$n$ на сумму степеней двойки, при этом порядок не имеет значение. Например

$P(5) = 4$ , так как

$5=4+1=2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1$ . Докажите, что для любого натурального

$n$ верно тождество

$P(n) + (-1)^{a_1} P(n-1) + (-1)^{a_2} P(n-2) + \ldots + (-1)^{a_{n-1}} P(1) + (-1)^{a_n} = 0,$ где

$a_k$ — количество единиц в двоичной записи числа

$k$ . ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(2)

результаты