16-шы «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2016 жыл

Есеп №1. Нақты

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандары үшін

$\left| \left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( c-a \right) \right|=1$ теңдігі орындалсын.

Есеп №2. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышы шеңберге іштей сызылған (

${AC > CB}$ ), ал

$N$ нүктесі — осы шеңбердің

$ACB$ доғасының ортасы.

$A_1$ және

$B_1$ нүктелері — сәйкесінше

$A$ және

$B$ нүктелерінен

$NC$ түзуіне түсірілген перпендикулярлар табандары болсын (

$NC$ кесіндісі

$A_1B_1$ кесіндісінің ішінде жатыр).

$A_1AC$ үшбұрышының

$A_1A_2$ биіктігі және

$B_1BC$ үшбұрышының

$B_1B_2$ биіктігі

$K$ нүктесінде қиылыссын. Егер

$M$ нүктесі —

$A_2B_2$ кесіндісінің ортасы болса, онда

$\angle A_1KN=\angle B_1KM$ теңдігін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3)

Есеп №3. Натурал

$a$ және

$b$ сандары берілген. Кез келген натурал

$n$ саны үшін

$f\left( n+a \right)$ саны

$f\left( {\left[ {\sqrt n } \right] + b} \right)$ санына бөлінетіндей

$f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ функциясы берілсін. Кез келген натурал

$n$ саны үшін, барлық

$i=1,2, \dots ,n-1$ үшін

$f\left( {{a}_{i+1}} \right)$ саны

$f\left( {{a}_{i}} \right)$ санына бөлінетіндей, қос-қостан өзара тең емес және қос-қостан өзара жай болатын

${{a}_{1}}$ ,

${{a}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{a}_{n}}$ натурал сандарының табылатынын дәлелдеңіздер. (Бұл жерде

$[x]$ — ол

$x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан;

$\mathbb{N}$ — натурал сандар жиыны.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$P(n)$ саны, ол

$n$ санын екінің дәрежелерінің қосындысы түрінде келтіру саны болсын (қосылғыштардың орын ауысып тұруы маңызды емес). Мысалға,

$P(5) = 4$ , өйткені

$5=4+1=2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1$ .
Егер

$a_k$ саны, ол

$k$ санының екілік жүйедегі бірліктер саны болса, онда кез келген натурал

$n$ саны үшін

$P(n) + (-1)^{a_1} P(n-1) + (-1)^{a_2} P(n-2) + \ldots + (-1)^{a_{n-1}} P(1) + (-1)^{a_n} = 0$ теңдігінің орындалатынын дәлелдеңіздер. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(2)

результаты