16-шы «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2016 жыл

Есеп №2. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышы шеңберге іштей сызылған (${AC > CB}$), ал $N$ нүктесі — осы шеңбердің $ACB$ доғасының ортасы. $A_1$ және $B_1$ нүктелері — сәйкесінше $A$ және $B$ нүктелерінен $NC$ түзуіне түсірілген перпендикулярлар табандары болсын ($NC$ кесіндісі $A_1B_1$ кесіндісінің ішінде жатыр). $A_1AC$ үшбұрышының $A_1A_2$ биіктігі және $B_1BC$ үшбұрышының $B_1B_2$ биіктігі $K$ нүктесінде қиылыссын. Егер $M$ нүктесі — $A_2B_2$ кесіндісінің ортасы болса, онда $\angle A_1KN=\angle B_1KM$ теңдігін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3)

Есеп №3. Натурал $a$ және $b$ сандары берілген. Кез келген натурал $n$ саны үшін $f\left( n+a \right)$ саны $f\left( {\left[ {\sqrt n } \right] + b} \right)$ санына бөлінетіндей $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ функциясы берілсін. Кез келген натурал $n$ саны үшін, барлық $i=1,2, \dots ,n-1$ үшін $f\left( {{a}_{i+1}} \right)$ саны $f\left( {{a}_{i}} \right)$ санына бөлінетіндей, қос-қостан өзара тең емес және қос-қостан өзара жай болатын ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots$, ${{a}_{n}}$ натурал сандарының табылатынын дәлелдеңіздер. (Бұл жерде $[x]$ — ол $x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан; $\mathbb{N}$ — натурал сандар жиыны.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

Есеп №4. $P(n)$ саны, ол $n$ санын екінің дәрежелерінің қосындысы түрінде келтіру саны болсын (қосылғыштардың орын ауысып тұруы маңызды емес). Мысалға, $P(5) = 4$, өйткені $5=4+1=2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1$.
Егер $a_k$ саны, ол $k$ санының екілік жүйедегі бірліктер саны болса, онда кез келген натурал $n$ саны үшін $$P(n) + (-1)^{a_1} P(n-1) + (-1)^{a_2} P(n-2) + \ldots + (-1)^{a_{n-1}} P(1) + (-1)^{a_n} = 0$$ теңдігінің орындалатынын дәлелдеңіздер. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(2)

результаты