Д. Елиусизов

Есеп №1. Кел келген натурал сан үшін, келесі тұжырымды дәлелдеңіздер: осы санның барлық натурал бөлгіштерін, кез келген екі көрші тұрған бөлгіштердің біреуі екіншісіне бөлінетіндей, шеңбер бойымен қойып шығуға болады. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №2. Натурал

$N$ санының

$k$ натурал бөлгіші бар. Сол санның барлық натурал бөлгіштерін, кез келген

$1\le i < k$ үшін,

$d_i/d_{i+1}$ немесе

$d_{i+1}/d_i$ саны жай болатындай,

$d_1$ ,

$\ldots$ ,

$d_k$ тізбегіне тізіп шығуға болатынын дәлелдеңіздер. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №3. Пирамида түріндегі

$n+1$ деңгейлі толық ағаш берілген. Түбір (1-ші деңгей) мен ең соңғы (

$(n+1)$ -ші) деңгейдегі нүктелерден басқа қалған деңгейлердегі әр нүктеден төмен қарай екі қабырға шығады, және төбеден бір қабырға кіреді. 1-ші суретте мысал

$n = 3$ үшін көрсетілген. Әрбір түс үшін бірдей түске боялған барлық қабырғалар қандай да бір деңгейдегі төбеден ең төменгі деңгейдегі төбеге дейін жол құрайтындай, ағашты берілген әртүрлі

$2^n$ түске (әр қабырға бір ғана түске боялған) қанша әдіспен бояуға болады? (Келесі төбе алдыңғы төбемен қабырғамен қосылған және деңгейі сол төбеден төмен жататын төбелер тізбегін жол деп атаймыз.)

( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №4. Өлшемі

$2^n \times 2^n$ (

$n \ge 3$ ) болатын тақтадан бір шаршыны қиып алып тастаған. Қалған тақтаны үш шаршыдан құралған бұрыш фигуралармен толығымен жауып шығудың әдіс саны

$3^{{4^{n-3}}}$ -тен кем емес екенін дәлелде. (Ешқандай бұрыштар бір-бірін жаппайды). ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №5. Өлшемі

$2^n \times 2^n$ (

$4^{3 \cdot 4^{n-3}}$ - тен кем емес екенін дәлелде. (Ешқандай бұрыштар бір-бірін жаппайды.) ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №6. Екі тасбақа бір уақытта координатасы

$(0, 0)$ нүктеден шығып, әр жүрісте бір уақытта бір бүтін координатаға оңға немесе жоғары қарай жүреді (яғни

$\left( {x,y} \right)$ нүктесінен

$\left( {x + 1,y} \right)$ немесе

$\left( {x,y+1} \right)$ нүктесіне). Егер тасбақалар соңғы рет

$\left( {0,0} \right)$ нүктесінде кездескен болса, олар

$\left( {n,n} \right)$ нүктесіне қанша әдіспен жете алады? ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №7. Екі тасбақа бір уақытта координатасы

$(0, 0)$ нүктеден шығып, әр жүрісте бір уақытта бір бүтін координатаға оңға немесе жоғары қарай жүреді (яғни

$\left( {x,y} \right)$ нүктесінен

$\left( {x + 1,y} \right)$ немесе

$\left( {x,y+1} \right)$ нүктесіне). Егер тасбақалар соңғы рет

$\left( {0,0} \right)$ нүктесінде кездескен болса, олар

$\left( {n,n} \right)$ нүктесіне қанша әдіспен жете алады? ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №8.

$A = \{1, 2, \ldots, n\}$ жиыны және

$m$ натурал саны берілсін. Егер

$a < b$ сандары бір бөлікте,

$c < d$ сандары басқа бөлікте болса,

$(a-d)(b-c) > 0$ болатындай

$A$ жиынын

$m$ бөлікке неше тәсілмен бөлсе болады?
Мысалға, егер

$n = 4$ ,

$m = 2$ болса, онда

$A = \{1, 2, \ldots, 4\}$ жиынын 5 тәсілмен бөлсе болады:

$\{1, 2\} \{3, 4\}; \quad \{1, 2, 3\} \{4\}; \quad \{1, 2, 4\} \{3\}; \quad \{1, 3, 4\} \{2\}; \quad \{2, 3, 4\} \{1\}.$ ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №9. Әрбір торкөзіне 0 немесе 1 жазылған шаршы кестені бинарлық деп атаймыз. Егер бинарлық кестенің әрбір жолында және әрбір бағанында дәл 2 бірлік жазылған болса, ол регулярлы деп аталады. Өлшемі

$n\times n$ (

$n > 1$ — бір бекітілген натурал сан) болатын әртүрлі регулярлы кестелердің санын анықта. (Кестенің жолдары мен бағандары нөмірленген деп есептеуге болады: тек бұру, шағылыстыру т.с.с. жолмен беттесетін кестелер әртүрлі деп есептеледі.) ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №10. Тақ, натурал

$m > 1,k$ сандары және

$p > mk+1$ болатын

$p$ жай саны берілген. Келесі тұжырымды дәлелде:

${{(C_{k}^{k})}^{m}}+{{(C_{k+1}^{k})}^{m}}+\ldots +{{(C_{p-1}^{k})}^{m}}$ қосындысы

${{p}^{2}}$ санына бөлінеді. Мұнда

$C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиалдық коэффициент. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №11. Кез келген нақты

$a_1, a_2, \ldots, a_n$ ,

$b_1, b_2, \ldots, b_n$ оң сандары үшін келесі теңсіздік орындалатынын дәлелдеңдер:

$(a_1^{2010} + a_2^{2010} + \ldots + a_n^{2010})(b_1^{2010} + b_2^{2010} + \ldots + b_n^{2010}) \ge$

$\ge (a_1b_1^{2009} + a_2b_2^{2009} + \ldots + a_nb_n^{2009})(a_1^{2009}b_1 + a_2^{2009}b_2 + \ldots + a_n^{2009}b_n).$ ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №12.

$\{a_n\}_{n \ge 1}$ тізбегі былайша анықталған:

$a_1 = \alpha \text{ және } n \ge 1 \text{ үшін } a_{n+1} = 2 a_n^2 - 1.$ Егер

$a_{2010} = 0$ болса,

$\alpha$ саны қанша әртүрлі нақты мән қабылдай алады? ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №13.

$ABC$ үшбұрышы берілген.

$C$ нүктесі арқылы өтетін, фокустары

$A$ және

$B$ нүктелері болатын

$\Omega_1$ эллипсін қарастырайық. Осыған ұқсас

$\Omega_2, \Omega_3$ (фокустары сәйкесінше

$B, C$ және

$C, A$ ) эллипстерін анықтаймыз. Егер осы үш эллипстің ортақ

$D$ нүктесі бар болса, онда

$A, B, C, D$ нүктелерінің бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңдер (фокустары деп аталатын бекітілген екі нүктеге дейінгі қашықтықтарының қосындысы тұрақты мәнге тең болатын нүктелердің геометриялық орны эллипс деп аталады). ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №14. Кез келген

$0 < {{a}_{1}}\le {{a}_{2}}\le \ldots \le {{a}_{n}}$ (

$n\ge 3$ ) сандары үшін

$\dfrac{a_{1}^{2}}{{{a}_{2}}}+\dfrac{a_{2}^{3}}{a_{3}^{2}}+\ldots +\dfrac{a_{n}^{n+1}}{a_{1}^{n}}\ge {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}$ теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №15. Әрбір натурал

$k$ саны үшін

${{F}_{k}}$ арқылы дәл

$k$ бірлік шаршыдан тұратын байланысты жазық фигуралардың жиынын белгілейік. Кез келген

$f$ жазық фигурасы үшін

$S\left( f \right)$ арқылы оны қамти алатын тіктөртбұрыштың ауданының ең аз мүмкін мәнін белгігейік. Берілген натурал

$n$ үшін

$\underset{f\in {{F}_{n}}}{\mathop{\max }}\,S\left( f \right)$ мәнін анықта. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №16.

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функциясы, мұндағы

$\mathbb{R}$ — нақты сандар өрісі, кез келген

$x,y\in \mathbb{R}$ үшін

$f(f(x)+x+y)=2x+f(y)$ тепе-теңдігін қанағаттандырады. Онда мынадай екі

${{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}\in \mathbb{R}$ сандары табылатынын дәлелдеңіздер: әрбір

$r$ нақты саны дәл бір ғана әдіспен

$r={{r}_{1}}+{{r}_{2}}$ қосындысына жіктеледі, мұнда әрбір

$i=1,2$ үшін

${{r}_{i}}\in \mathbb{R}$ және

$f({{r}_{i}})={{\alpha }_{i}}\cdot {{r}_{i}}$ . ( Д. Елиусизов, Е. Байсалов )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №17. Егер

$a+b+c+2=abc$ екені белгілі болса, оң нақты

$a,b,c$ сандары үшін

$ab+bc+ca\ge 2(a+b+c)$ теңсіздігін дәлелдеңіздер. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №18. Кез келген

$x,y\in \mathbb{R}$ үшін

$f(xy+f(x))=xf(y)+f(x)$ тепе-теңдігін қанағаттандыратын барлық

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функциясын табыңыздар, мұндағы

$\mathbb{R}$ — нақты сандар жиыны. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №19. Егер

$a+b+c+2=abc$ екені белгілі болса, оң нақты

$a,b,c$ сандары үшін

$ab+bc+ca\ge 2(a+b+c)$ теңсіздігін дәлелдеңіздер. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №20.

$P(n)$ саны, ол

$n$ санын екінің дәрежелерінің қосындысы түрінде келтіру саны болсын (қосылғыштардың орын ауысып тұруы маңызды емес). Мысалға,

$P(5) = 4$ , өйткені

$5=4+1=2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1$ .
Егер

$a_k$ саны, ол

$k$ санының екілік жүйедегі бірліктер саны болса, онда кез келген натурал

$n$ саны үшін

$P(n) + (-1)^{a_1} P(n-1) + (-1)^{a_2} P(n-2) + \ldots + (-1)^{a_{n-1}} P(1) + (-1)^{a_n} = 0$ теңдігінің орындалатынын дәлелдеңіздер. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №21. Өлшемі

$4\times 4$ болатын кестенің жолдары 1, 2, 3, 4 сандарымен, ал бағандары

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ әріптерімен белгіленген және оның әрбір торкөзіне 0 немесе 1 жазылған. Егер осы кестенің әрбір жолында және әрбір бағанында дәл екі бірлік жазылған болса, оны жарамды деп атаймыз. Жарамды кестелердің санын анықтаңдар. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №22.

$abc\le 1$ шартын қанағаттандыратын кез келген оң нақты

$a$ ,

$b$ ,

$c$ сандары үшін

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 1+\frac{6}{a+b+c}$ . теңсіздігін дәлелдеңіз. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(14) олимпиада

Есеп №23. Мынадай шартты қанағаттандыратын барлық коэффициенттері нақты

$P(x)$ көпмүшеліктерді анықта: әрбір рационал

$r$ саны үшін

$P(x)=r$ теңдеуінің рационал шешімі табылады. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №24.

$2n$ төбесі және

${2n(n-1)}$ қабырғасы бар (ориентацияланбаған, тұзақсыз) граф берілген. Әрбір қызыл төбеден дәл

$n$ қызыл қабырға шығатындай етіп осы графтың кейбір төбелері мен қабырғаларын қызыл түске бояуға болатынын дәлелдеңдер. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №25.

${{A}_{0}}$ ,

${{B}_{0}}$ ,

${{C}_{0}}$ нүктелері —

$ABC$ үшбұрышының сәйкесінше

$BC$ ,

$CA$ ,

$AB$ қабырғаларының ортасы, ал

${{A}_{1}}$ ,

${{B}_{1}}$ ,

${{C}_{1}}$ нүктелері — сәйкесінше

$BAC$ ,

$CBA$ ,

$BCA$ қисықтарының (ұзындық бойынша) ортасы. Онда

${{A}_{0}}{{A}_{1}}$ ,

${{B}_{0}}{{B}_{1}}$ ,

${{C}_{0}}{{C}_{1}}$ түзулерінің бір нүктеде қиылысатынын дәлелде. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №26. Кез келген оң нақты

$a,b,c$ сандары үшін

${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc\ge M(|a-b{{|}^{3}}+|b-c{{|}^{3}}+|c-a{{|}^{3}})$ теңсіздігі орындалатындай нақты

$M$ санының ең үлкен мәнін тап. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №27.

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған

$\omega$ шеңбері

$BC$ қабырғасын

$K$ нүктесінде жанайды.

$B$ мен

$C$ нүктелері арқылы өтетін және

$\omega$ шеңберін

$S$ нүктесінде жанайтын шеңбер жүргізейік.

$SK$ түзуі

$ABC$ үшбұрышына сыртта іштей сызылған және

$BC$ қабырғасын жанайтын шеңбердің центрі арқылы өтетінін дәлелде. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №28.

$a_1, a_2, \dots, a_n$ бүтін сандар тізбегі арифметикалық прогрессия құрайды, және кез келген

$i=1, 2, \dots , n-1$ үшін

$a_n$ саны

$i$ санына бөлінеді де, және де сол

$a_n$ саны

$n$ санына бөлінбейді.

$n$ санының жай санның дәрежесі екенін дәлелдеңіздер. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №29. Нақты

$x, y, z \in (0;1)$ сандары үшін

$8xyz = (1 - x)(1 - y)(1 - z)$ теңдігі орындалады.

$x+y+z \geq 1$ теңсіздігін дәлелдеңіздер. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №30. Шегіртке координат өсіндегі 0 нүктеде тұр. Әр секірім сайын оған координатасы

$x$ болатын нүктеден координатасы

$x + 1$ немесе

$2x$ болатын нүктеге секіру рұқсат. Координаттың «салмағы» деп, сол координатаға жетуге қажет секірім санының ең кішісін айтамыз. Координатасы

$x < 2010$ болатын ең үлкен салмақты табыңыздар. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №31.

$N = 10^{10}-1$ болсын.

$\{|{{a}_{1}}-{{a}_{2}}|, |{{a}_{2}}-{{a}_{3}}|, |{{a}_{3}}-{{a}_{4}}|,\dots, |{{a}_{N-1}}-{{a}_{N}}|\}=\{1,10,{{10}^{2}}, {{10}^{3}},\dots, {{10}^{9}}\}$ болатындай

$(1,2,\ldots ,N)$ сандарының қандай да бір

$({{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{N}})$ ауыстырылымы бар екенін дәлелдеңдер (қандай да бір

$\,|{{a}_{i}}-{{a}_{i+1}}|$ алымы қайталанып келуі мүмкін, бірақ та

$({{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{N}})$ жиынының барлық мүшелері сол алымдардын ішінде кездесу керек). ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №32.

$A_n$ арқылы 1, 2,

$\dots$ ,

$n$ тізбегін келесі шартты қанағаттандыратын ішкі тізбекке бөлу жиынын белгілейік: сол ішкі тізбектің кез келген екі көрші сандар жұптығы бірдей. Ал

$B_n$ арқылы 1, 2,

$\dots$ ,

$n$ тізбегін келесі шартты қанағаттандыратын ішкі тізбекке бөлу жиынын белгілейік: сол ішкі тізбектің кез келген екі көрші сандар жұптығы әртүрлі. Мысалға,

$\{(1, 4, 5, 8), (2, 3), (6, 9), (7)\}$ жиындары

$A_9$ жиынының элменттері, ал

$\{(1, 3, 5), (2, 4), (6)\}$ жиындары

$B_6$ жиынының элементтері. Кез келген натурал

$n$ саны үшін

$A_n$ және

$B_{n+1}$ жиындарында элементтер саны тең екенін дәлелдеңіз. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №33.

$n$ натурал саны берілген. Теңсіздікті дәлелде:

$\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{i(i+1)(i+2)(i+3)(i+4)}} < \frac{1}{96}$ . ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №34. Егер натурал санның цифрларын қандай ретпен ауыстырып жазсақ та жай сан алсақ, онда оны абсолют жай деп атаймыз. Мысалы, 113 абсолют жай сан (113, 131, 311 – бәрі жай сандар). Ондық жазылуында 1, 3, 7, 9 цифрінің бәрі кездесетін абсолют жай сан табылмайтынын дәлелде. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №35.

$({{2}^{m}}+{{1,2}^{n}}+1)={{2}^{(m,n)}}+1$ шартын қанағаттандыратын барлық натурал

$(m; n)$ жұптарын табыңыздар. Бұл жерде

$(a,b)$ — натурал

$a$ және

$b$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №36. Кез келген оң нақты

$x$ үшін

$f(f(x))=\alpha f(x)-\beta x$ тепе-теңдігін қанағаттандыратын

$f:\left( 0,+\infty \right)\to \left( 0,+\infty \right)$ функциясы табылатын барлық

$\left( \alpha ,\beta \right)$ оң нақты сандар жұптарын анықта. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №37. Кез келген

$p$ жай саны үшін саны

$({x^2} + p{t^2})({y^2} + p{t^2})({z^2} + p{t^2})$ толық квадрат болатындай шексіз көп

$(x, y, z, t)$ өзара тең емес бүтін сандардың төрттіктері табылатынын дәлелдеңіз. ( Д. Елиусизов, Е. Байсалов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №38. Дано натуральное число

$m\geq2.$ Последовательность натуральных чисел

$(b_0,b_1,\ldots,b_m)$ назовем вогнутой, если

$b_k+b_{k-2}\le2b_{k-1}$ для всех

$2\le k\le m.$ Докажите, что существует не более

$2^m$ вогнутых последовательностей, начинающихся с

$b_0=1$ и

$b_1=2.$ ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №39. Докажите, что существует по крайней мере

$100!$ способов разбить число

$100!$ на сумму слагаемых из множества

$\{1!, 2!, 3!, \ldots, 99! \}$ . (Разбиения, отличающиеся порядком слагаемых, считаются одинаковыми; любое слагаемое можно использовать несколько раз. Напомним, что

$n!=1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n.$ ) ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №40.

$\{a_n\}$ тізбегі келесідей анықталған:

$a_0=1$ және

$n \ge 1$ үшін

${a_n} = \sum\limits_{k = 1}^{[\sqrt n ]} {{a_{n - {k^2}}}}$ .

$a_1,a_2,\ldots,a_{10^6}$ сандарының арасында кемінде 500 жұп сан бар екенін дәлелдеңіз. (Бұл жерде

$[x]$ арқылы

$x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін санды белгілейміз.) ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №41.

$k+1 < 2n$ болатындай натурал

$n$ және

$k$ сандары берілген.

$a_1+a_2+\cdots+a_{2n}=0$ , және барлық

$i=1,2,\ldots,2n$ үшін

$a_i\in\{1,-1\}$ және

$a_1+a_2+\cdots+a_i\ge 0$ шарттарын қанағаттандыратын

$(a_1,a_2,\ldots,a_{2n})$ тізбектер жиынын

$A$ деп белгілейік.

$a_k=1$ болатын

$A$ -ның барлық ішкі жиынын

$B$ деп, ал

$a_{k+1}=1$ болатын

$A$ -ның барлық ішкі жиынын

$C$ деп белгілейік.

$|B|\cdot |C|\ge |A|\cdot |B\cap C|$ теңсіздігін дәлелдеңіз. (Бұл жерде

$|X|$ арқылы

$X$ жиынының элементтер саны белгіленген.) ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №42.

$k+1 < 2n$ болатындай натурал

$n$ және

$k$ сандары берілген.

$a_1+a_2+\cdots+a_{2n}=0$ , және барлық

$i=1,2,\ldots,2n$ үшін

$a_i\in\{1,-1\}$ және

$a_1+a_2+\cdots+a_i\ge 0$ шарттарын қанағаттандыратын

$(a_1,a_2,\ldots,a_{2n})$ тізбектер жиынын

$A$ деп белгілейік.

$a_k=1$ болатын

$A$ -ның барлық ішкі жиынын

$B$ деп, ал

$a_{k+1}=1$ болатын

$A$ -ның барлық ішкі жиынын

$C$ деп белгілейік.

$|B|\cdot |C|\ge |A|\cdot |B\cap C|$ теңсіздігін дәлелдеңіз. (Бұл жерде

$|X|$ арқылы

$X$ жиынының элементтер саны белгіленген.) ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение олимпиада