XVIII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2019 год

Задача №1. Высоты остроугольного неравнобедренного треугольника

$ABC$ пересекаются в точке

$H$ . На отрезке

$C_1H$ , где

$CC_1$ — высота треугольника, отмечена точка

$K$ . Точки

$L$ и

$M$ — основания перпендикуляров из точки

$K$ на прямые

$AC$ и

$BC$ соответственно. Прямые

$AM$ и

$BL$ пересекаются в точке

$N$ . Докажите, что

$\angle ANK=\angle HNL$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)

Задача №2. Пусть

$a_1,$

$a_2,$

$\ldots,$

$a_{99}$ положительные действительные числа такие, что

$ia_j+ja_i\ge i+j$ для всех

$1\le i < j \le 99.$ Докажите, что

$(a_1+1)(a_2+2)\ldots (a_{99}+99) \ge 100!.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2)

Задача №3. Найдите все пары

$(a,n)$ натуральных чисел таких, что

$\varphi (a^n+n)=2^n.$ (

$\varphi(n)$ — функция Эйлера, то есть количество целых чисел от 1 до

$n$ , взаимно простых с

$n$ .) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2)

Задача №4. Последовательность

$\{a_n\}$ определена следующим образом:

$a_0=1$ и

${a_n} = \sum\limits_{k = 1}^{[\sqrt n ]} {{a_{n - {k^2}}}}$ для

$n \ge 1.$ Докажите, что среди

$a_1,a_2,\ldots,a_{10^6}$ есть хотя бы 500 четных чисел. (Здесь

$[x]$ обозначает наибольшее целое, не превосходящее

$x$ .) ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(2)

результаты