XVIII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2019 год

Высоты остроугольного неравнобедренного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. На отрезке $C_1H$, где $CC_1$ — высота треугольника, отмечена точка $K$. Точки $L$ и $M$ — основания перпендикуляров из точки $K$ на прямые $AC$ и $BC$ соответственно. Прямые $AM$ и $BL$ пересекаются в точке $N$. Докажите, что $\angle ANK=\angle HNL$. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть $AC > BC$ и $AA_1$, $BB_1$ — высоты треугольника $ABC$. Так как $\frac{CB_1}{B_1L}=\frac{CH}{HK}=\frac{CA_1}{A_1M}$, то $A_1B_1 \parallel ML$. Четырехугольник $AB_1A_1B$ вписан в окружность с диаметром $AB$. Поэтому из вписанности и параллельности следует $\angle LMC=\angle B_1A_1C=\angle CAB$, то есть и четырехугольник $ALMB$ вписанный. Вписанность этих четырехугольников даёт следующее равенство: $ \angle MAH=\angle MAL-\angle A_1AC=\angle MBL-\angle MBB_1=\angle LBH$. Следовательно, $$\angle NMK=\angle MAH=\angle NBH. \quad (1)$$