XVIII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2019 год

Есеп №1. Сүйірбұрышты, теңбүйірлі емес

$ABC$ үшбұрышының биіктіктері

$H$ нүктесінде қиылысады.

$C_1H$ кесіндісінде

$K$ нүктесі белгіленген, бұл жерде

$CC_1$ — үшбұрыштың биіктігі.

$L$ және

$M$ нүктелері

$K$ нүктесінен сәйкесінше

$AC$ және

$BC$ түзулеріне түсірілген перпендикуляр табандары.

$AM$ және

$BL$ түзулері

$N$ нүктесінде қиылысады.

$\angle ANK=\angle HNL$ теңдігін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Әрбір

$1\le i < j \le 99$ үшін

$ia_j+ja_i\ge i+j$ теңсіздіктері орындалатындай

$a_1,$

$a_2,$

$\ldots,$

$a_{99}$ нақты оң сандары берілген.

$(a_1+1)(a_2+2)\ldots (a_{99}+99) \ge 100!$ теңсіздігін дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2)

Есеп №3.

$\varphi (a^n+n)=2^n$ теңдігі орындалатын барлық натурал

$(a,n)$ жұптарын табыңыз. (Бұл жерде

$\varphi(n)$ — Эйлер функциясы, яғни 1-ден

$n$ -ге дейінгі

$n$ санымен өзара жай бүтін сандардың саны.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2)

Есеп №4.

$\{a_n\}$ тізбегі келесідей анықталған:

$a_0=1$ және

$n \ge 1$ үшін

${a_n} = \sum\limits_{k = 1}^{[\sqrt n ]} {{a_{n - {k^2}}}}$ .

$a_1,a_2,\ldots,a_{10^6}$ сандарының арасында кемінде 500 жұп сан бар екенін дәлелдеңіз. (Бұл жерде

$[x]$ арқылы

$x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін санды белгілейміз.) ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(2)

результаты