Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ
Алматы, 2011 год

Задача №1.  Пусть $N={{10}^{10}}-1$. Докажите, что существует перестановка $({{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{N}})$ чисел $(1,2,\ldots ,N)$ такая, что $$\{|{{a}_{1}}-{{a}_{2}}|, |{{a}_{2}}-{{a}_{3}}|, |{{a}_{3}}-{{a}_{4}}|,\dots, |{{a}_{N-1}}-{{a}_{N}}|\}=\{1,10,{{10}^{2}}, {{10}^{3}},\dots, {{10}^{9}}\}.$$ (Какие-то из разностей $\left| {{a}_{i}}-{{a}_{i+1}} \right|$ могут принимать одинаковые значения, но при этом все значения множества $\{1,10, {{10}^{2}}, {{10}^{3}},\dots, {{10}^{9}}\}$ должны встречаться среди этих разностей). ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение

---

Задача №2.  Дан произвольный квадратный трехчлен $f$ с действительными коэффициентами. Существуют ли числа $({{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}})$ — последовательные члены арифметической прогрессии такие, что все члены набора $F=\{f({{x}_{1}}),f({{x}_{2}}),\ldots ,f({{x}_{n}})\}$ в каком-то порядке также являются последовательными членами арифметической прогрессии (с ненулевыми разностями) если: а) $n=3$; б) $n=4$? ( М. Кунгожин )
комментарий/решение

---

Задача №3.  Обозначим через $S\left( x \right)$ сумму цифр натурального числа $x$ (в десятичной системе). Докажите, что для любого натурального числа $n$ существует бесконечно много натуральных чисел $x$ таких, что $S\left( {{x}^{2}} \right)=nS\left( x \right)$.
комментарий/решение

---

Задача №4.  К окружности $\omega $ с центром $O$ из точки $S$ проведены касательные $SA$ и $SB$. Точки $C$ и $C'$ на окружности $\omega $ такие, что $AC \parallel OB$ и $CC'$ является диаметром $\omega $. Пусть прямые $BC$ и $SA$ пересекаются в точке $K$, а прямые $KC'$ и $AC$ в точке $M$. Докажите, что в треугольнике $MKC$ высота из вершины $M$ делит высоту из вершины $C$ пополам, если угол $BMK$ прямой. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

---