Математикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2011 жыл

Есеп №1.

$N = 10^{10}-1$ болсын.

$\{|{{a}_{1}}-{{a}_{2}}|, |{{a}_{2}}-{{a}_{3}}|, |{{a}_{3}}-{{a}_{4}}|,\dots, |{{a}_{N-1}}-{{a}_{N}}|\}=\{1,10,{{10}^{2}}, {{10}^{3}},\dots, {{10}^{9}}\}$ болатындай

$(1,2,\ldots ,N)$ сандарының қандай да бір

$({{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{N}})$ ауыстырылымы бар екенін дәлелдеңдер (қандай да бір

$\,|{{a}_{i}}-{{a}_{i+1}}|$ алымы қайталанып келуі мүмкін, бірақ та

$({{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{N}})$ жиынының барлық мүшелері сол алымдардын ішінде кездесу керек). ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение

Есеп №2.

$f$ – кез келген квадратты үшмүшесі берілген. Арифметикалық прогрессияның қатар келген

$({{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}})$ мүшелері үшін

$F=\{f({{x}_{1}}),f({{x}_{2}}),\ldots ,f({{x}_{n}})\}$ жиынының мүшелері де қандай да бір ретте арифметикалық прогрессияның қатар келген мүшелері болатындай

$({{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}})$ сандары табыла ма? Егер: \par а)

$n = 3$ болса; \par б)

$n = 4$ болса. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение

Есеп №3.

$S(x)$ арқылы

$x$ санының цифрларының қосындысын белгілейік. Кез келген натурал

$n$ саны үшін

$S(x^2) = nS(x)$ шарты орындалатындай шексіз көп

$x$ натурал санының табылатынын дәлелде.
комментарий/решение

Есеп №4. Центрі

$O$ болатын

$\omega$ шеңберіне

$S$ нүктесінен

$SA$ және

$SB$ жанамалары жүргізілген.

$\omega$ шеңберінде

$AC \parallel OB$ және

$CC’$

$\omega$ -ның диаметрі болатындай

$C$ мен

$C’$ нүктелері алынған.

$BC$ мен

$SA$ түзулері

$K$ , ал

$KC’$ пен

$AC$ түзілері

$M$ нүктесінде қиылыссын. Егер

$BMK$ бұрышы тік болса, онда

$MKC$ үшбұрышында

$M$ нүктесінен түсірілген биіктік

$C$ нүктесінен түсірілген биіктікті қақ ортасынан бөлетінін дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)