Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2011 жыл


Есеп №1. N=10101 болсын. {|a1a2|,|a2a3|,|a3a4|,,|aN1aN|}={1,10,102,103,,109} болатындай (1,2,,N) сандарының қандай да бір (a1,a2,,aN) ауыстырылымы бар екенін дәлелдеңдер (қандай да бір |aiai+1| алымы қайталанып келуі мүмкін, бірақ та (a1,a2,,aN) жиынының барлық мүшелері сол алымдардын ішінде кездесу керек). ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение
Есеп №2. f – кез келген квадратты үшмүшесі берілген. Арифметикалық прогрессияның қатар келген (x1,x2,,xn) мүшелері үшін F={f(x1),f(x2),,f(xn)} жиынының мүшелері де қандай да бір ретте арифметикалық прогрессияның қатар келген мүшелері болатындай (x1,x2,,xn) сандары табыла ма? Егер: \par а) n=3 болса; \par б) n=4 болса. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение
Есеп №3. S(x) арқылы x санының цифрларының қосындысын белгілейік. Кез келген натурал n саны үшін S(x2)=nS(x) шарты орындалатындай шексіз көп x натурал санының табылатынын дәлелде.
комментарий/решение
Есеп №4. Центрі O болатын ω шеңберіне S нүктесінен SA және SB жанамалары жүргізілген. ω шеңберінде ACOB және CC ω-ның диаметрі болатындай C мен C нүктелері алынған. BC мен SA түзулері K, ал KC пен AC түзілері M нүктесінде қиылыссын. Егер BMK бұрышы тік болса, онда MKC үшбұрышында M нүктесінен түсірілген биіктік C нүктесінен түсірілген биіктікті қақ ортасынан бөлетінін дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)