Математикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2011 жыл
Есеп №1. N=1010−1 болсын. {|a1−a2|,|a2−a3|,|a3−a4|,…,|aN−1−aN|}={1,10,102,103,…,109} болатындай (1,2,…,N) сандарының қандай да бір (a1,a2,…,aN) ауыстырылымы бар екенін дәлелдеңдер (қандай да бір |ai−ai+1| алымы қайталанып келуі мүмкін, бірақ та (a1,a2,…,aN) жиынының барлық мүшелері сол алымдардын ішінде кездесу керек).
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. f – кез келген квадратты үшмүшесі берілген. Арифметикалық прогрессияның қатар келген (x1,x2,…,xn) мүшелері үшін F={f(x1),f(x2),…,f(xn)} жиынының мүшелері де қандай да бір ретте арифметикалық прогрессияның қатар келген мүшелері болатындай (x1,x2,…,xn) сандары табыла ма? Егер:
\par а) n=3 болса;
\par б) n=4 болса.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. S(x) арқылы x санының цифрларының қосындысын белгілейік. Кез келген натурал n саны үшін S(x2)=nS(x) шарты орындалатындай шексіз көп x натурал санының табылатынын дәлелде.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Центрі O болатын ω шеңберіне S нүктесінен SA және SB жанамалары жүргізілген. ω шеңберінде AC∥OB және CC′ ω-ның диаметрі болатындай C мен C′ нүктелері алынған. BC мен SA түзулері K, ал KC′ пен AC түзілері M нүктесінде қиылыссын. Егер BMK бұрышы тік болса, онда MKC үшбұрышында M нүктесінен түсірілген биіктік C нүктесінен түсірілген биіктікті қақ ортасынан бөлетінін дәлелде.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)