Республиканская олимпиада по математике, 2018 год, 11 класс

Задача №1. В равнобокой трапеции

$ABCD$ точка

$O$ — середина основания

$AD$ . Окружность с центром в точке

$O$ и радиусом

$BO$ касается прямой

$AB$ . Пусть отрезок

$AC$ пересекает эту окружность в точке

$K$ (

$C \ne K$ ), и пусть

$M$ такая точка, что

$ABCM$ — параллелограмм. Описанная окружность треугольника

$CMD$ пересекает отрезок

$AC$ в точке

$L$

$(L \ne C)$ . Докажите, что

$AK=CL$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

Задача №2. Дано натуральное число

$m\geq2.$ Последовательность натуральных чисел

$(b_0,b_1,\ldots,b_m)$ назовем вогнутой, если

$b_k+b_{k-2}\le2b_{k-1}$ для всех

$2\le k\le m.$ Докажите, что существует не более

$2^m$ вогнутых последовательностей, начинающихся с

$b_0=1$ и

$b_1=2.$ ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)

Задача №3.

$\mathbb{N}$ — множество натуральных чисел. Существует ли функция

$f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ такая, что для любых натуральных

$m$ и

$n$ выполнено равенство

$f\left(mf\left(n\right)\right)=f\left(m\right)f\left(m+n\right)+n?$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

Задача №4. Докажите, что для любых действительных чисел

$a,b,c,d\in(0,1)$ выполняется неравенство

$\left(ab-cd\right)\left(ac+bd\right)\left(ad-bc\right)+\min{\left(a,b,c,d\right)} < 1.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

Задача №5. Дано множество

$S = \{ xy\left( {x + y} \right)\; |\; x,y \in \mathbb{N}\}$ . Пусть

$a$ и

$n$ натуральные числа такие, что

$a+2^k\in S$ для каждого

$k=1,2,\ldots,n.$ Найдите наибольшее возможное значение

$n.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

Задача №6. Внутри выпуклого четырехугольника

$ABCD$ отмечена точка

$M$ такая, что

$\angle AMB=\angle ADM+\angle BCM$ и

$\angle AMD=\angle ABM+\angle DCM.$ Докажите, что

$AM\cdot CM+BM\cdot DM\ge \sqrt{AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA}.$ ( Н. Седракян )
комментарий/решение(3)

результаты