Processing math: 100%

7-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2007 жыл


Кез келген оң нақты a,b,c сандары үшін a3+b3+c33abcM(|ab|3+|bc|3+|ca|3) теңсіздігі орындалатындай нақты M санының ең үлкен мәнін тап. ( Д. Елиусизов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   2
5 года 1 месяца назад #

abc деп алсақ, жалпылыққа әсер етпейді.

b0+,c0+ жағдайында 12M болады.

Енді M=12 үшін теңсіздікті дәлелдейік.

a3+b3+c33abc12((ab)3+(bc)3+(ac)3)

a=b+u,b=c+v.  u,v0 деп алайық. Онда

2(a3+b3+c33abc)(ab)3+(bc)3+(ac)3

(a+b+c)((ab)2+(bc)2+(ac)2)(ab)3+(bc)3+(ac)3

(u+2v+3c)(u2+v2+(u+v)2)u3+v3+(u+v)3

6cu2+6cuv+6cv2+3u2v+3uv2+2v30

  1
7 месяца 16 дней назад #

У этой задачи есть пример? xD

Мне кажется ошибочно написали, что a,b,c>0.

  2
7 месяца 4 дней назад #

Негізі соңын оңайырақ дәлелдеуге болады

aab,bc,ac.(a+b+c)((ab)2+(bc)2+(ca)2)a((ab)2+(bc)2+(ca)2)(ab)3+(bc)3+(ca)3.