VI математическая олимпиада «Шелковый путь», 2007 год
Найдите максимальное значение вещественного числа M,
при котором для любых положительных вещественных чисел a,b,c выполняется неравенство
a3+b3+c3−3abc≥M(|a−b|3+|b−c|3+|c−a|3)
(
Д. Елиусизов
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
a≥b≥c деп алсақ, жалпылыққа әсер етпейді.
b→0+,c→0+ жағдайында 12≥M болады.
Енді M=12 үшін теңсіздікті дәлелдейік.
a3+b3+c3−3abc≥12((a−b)3+(b−c)3+(a−c)3)
a=b+u,b=c+v. u,v≥0 деп алайық. Онда
2(a3+b3+c3−3abc)≥(a−b)3+(b−c)3+(a−c)3
(a+b+c)((a−b)2+(b−c)2+(a−c)2)≥(a−b)3+(b−c)3+(a−c)3
(u+2v+3c)(u2+v2+(u+v)2)≥u3+v3+(u+v)3
6cu2+6cuv+6cv2+3u2v+3uv2+2v3≥0
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.