Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2014 год, 9 класс


Задача №1.  В треугольнике ABC точка I — центр вписанной окружности, а ω — описанная окружность. Прямые BI и CI пересекают ω соответственно в точках B1 и C1, а прямая B1C1 пересекает прямые AB и AC в точках C2 и B2, соответственно. Пусть ω1 — описанная окружность треугольника IB1C1, а прямые IB2 и IC2 пересекают ω1 в точках M и N, соответственно. Докажите, что BC2B2C=B2MC2N. ( Шалгымбай Б. )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Пусть a1, a2, , a2014 — перестановка чисел 1, 2, , 2014. Какое наибольшее количество чисел среди чисел a21+a2, a22+a3, , a22013+a2014, a22014+a1 могут быть точными квадратами? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2)
Задача №3.  Докажите, что если p, q, m, n натуральные числа, причем p и q простые, то равенство (2pp2)(2qq2)=pmqn невозможно. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(5)
Задача №4.  Дано целое n1 и положительные действительные числа a1, a2, , an. Пусть s=a1+a2++an. Известно, что для каждого i=1, 2, , n выполняется неравенство ai2>iai+s. Докажите, что 2s>3n2. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)
Задача №5.  В выпуклом четырёхугольнике ABCD справедливы следующие соотношения: AB=BC, AD=BD и ADB=2BDC. Известно, что ACD=100. Найдите ADC. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3)
Задача №6.  Из доски 2n×2n (n3) вырезали одну клетку. Докажите, что оставшуюся часть доски можно покрыть без наложений уголками из 3-х клеток по крайней мере 434n3 различными способами. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)
результаты