Республиканская олимпиада по математике, 2014 год, 9 класс
Задача №1. В треугольнике ABC точка I — центр вписанной окружности, а ω — описанная окружность. Прямые BI и CI пересекают ω соответственно в точках B1 и C1, а прямая B1C1 пересекает прямые AB и AC в точках C2 и B2, соответственно.
Пусть ω1 — описанная окружность треугольника IB1C1, а прямые IB2 и IC2 пересекают ω1 в точках M и N, соответственно. Докажите, что BC2⋅B2C=B2M⋅C2N.
(
Шалгымбай Б.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Пусть a1, a2, …, a2014 — перестановка чисел 1, 2, …, 2014.
Какое наибольшее количество чисел среди чисел a21+a2, a22+a3, …, a22013+a2014, a22014+a1
могут быть точными квадратами?
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Докажите, что если p, q, m, n натуральные числа, причем p и q простые, то равенство
(2p−p2)(2q−q2)=pmqn
невозможно.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №4. Дано целое n≥1 и положительные действительные числа a1, a2, …, an.
Пусть s=a1+a2+…+an. Известно, что для каждого i=1, 2, …, n
выполняется неравенство ai2>iai+s. Докажите, что 2s>3n2.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. В выпуклом четырёхугольнике ABCD справедливы следующие соотношения:
AB=BC, AD=BD и ∠ADB=2∠BDC. Известно, что
∠ACD=100∘. Найдите ∠ADC.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №6. Из доски 2n×2n (n≥3) вырезали одну клетку. Докажите, что оставшуюся часть доски можно покрыть без наложений уголками из 3-х клеток по крайней мере 43⋅4n−3 различными способами.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)